《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

变式 5.1 若直线过点$P(2, 1)$且与两坐标轴所围成的三角形面积为$4$，则这样的直线有()

A.1 条
B.2 条
C.3 条
D.4 条

答案： 答案 C
解析 设直线方程为$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$，代入$P(2, 1)$，得$\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1$，又$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}|ab| = 4$，可解得有三解。故选 C。

变式 5.2 一条直线$l$经过点$P(2, 1)$，并且与$x$轴，$y$轴的正半轴交于$A$，$B$两点，当$|PA| · |PB|$取最小值时，求直线$l$的方程。

答案： 答案 $x + y - 3 = 0$
解析 1 设直线$l$：$y - 1 = k(x - 2)$，分别令$y = 0$，$x = 0$，得$A(2 - \frac{1}{k}, 0)$，$B(0, 1 - 2k)(k ＜ 0)$，则$|PA| · |PB| = \sqrt{(4 + 4k^2)(1 + \frac{1}{k^2})} = \sqrt{8 + 4(k^2 + \frac{1}{k^2})} \geq 4$，当且仅当$k^2 = 1$，即$k = \pm 1$时，取最小值。又$k ＜ 0$，所以$k = -1$，此时直线$l$的方程为$x + y - 3 = 0$。
解析 2 设$\angle PAO = \theta$，则$|PA| = \frac{1}{\sin\theta}$，$|PB| = \frac{2}{\cos\theta}(0 ＜ \theta ＜ \frac{\pi}{2})$，$|PA| · |PB| = \frac{2}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{4}{\sin2\theta} \geq 4$，当且仅当$\sin2\theta = 1$即$\theta = \frac{\pi}{4}$时，$|PA| · |PB|$取最小值$4$，此时直线$l$的斜率为$-1$，方程为$x + y - 3 = 0$。

【例 6】已知直线$l: (3\lambda + 1)x + (1 - \lambda)y + 6 - 6\lambda = 0$($\lambda$为实数)过定点$P$，则点$P$的坐标为；过原点$O$作直线$l$的垂线，$Q$为垂足，则使$|DQ|$为定值的点$D$的坐标为。

答案： 答案 $(0, -6)$；$(0, -3)$。
解析 由直线$l$的方程得$\lambda(3x - y - 6) + x + y + 6 = 0$，即$\begin{cases}3x - y - 6 = 0 \\ x + y + 6 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 0 \\ y = -6\end{cases}$，所以定点$P$的坐标为$(0, -6)$。
易知$\triangle OQP$为直角三角形，$Q$到斜边$OP$中点的距离始终为$OP$的一半，故$D$点为$OP$中点，坐标为$(0, -3)$。
点睛 过两直线交点的直线系方程：若两条直线$l_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$，$l_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$有交点，则过$l_1$与$l_2$交点的直线系方程为$(A_1x + B_1y + C_1) + \lambda(A_2x + B_2y + C_2) = 0$($\lambda$为常数)。在做含参数的直线$(A_1x + B_1y + C_1) + \lambda(A_2x + B_2y + C_2) = 0$过定点题时，可对参数分离，表示为过$l_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$，$l_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$的交点；也可对$\lambda$分别取两个特殊值，代入得两直线的交点。另外直线$y - y_0 = k(x - x_0)$恒过定点$(x_0, y_0)$。