《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

【例 1】 直线 $ l:ax + by + a + 2b = 0(a \in \mathbf{R},b \in \mathbf{R} $，且 $ a^2 + b^2 \neq 0) $ 与 $ O:x^2 + y^2 = 8 $ 的位置关系为()

A.相交
B.相切
C.相离
D.相交或相切

答案： 答案 A
解析 1 由 $ l:a(x + 1) + b(y + 2) = 0 $，直线 $ l $ 过定点 $ (-1,-2) $，且定点在圆内，故直线与圆相交.
解析 2 由圆心到直线的距离为 $ d = \frac{|a + 2b|}{\sqrt{a^2 + b^2}} $，
$ d^2 - 8 = \frac{-7a^2 + 4ab - 4b^2}{a^2 + b^2} \leq \frac{-7a^2 + 2(a^2 + b^2) - 4b^2}{a^2 + b^2} = -\frac{5a^2 + 2b^2}{a^2 + b^2} ＜ 0 $，故由直线与圆相交.
解析 3 由 $ (a^2 + b^2)(1^2 + 2^2) \geq (a + 2b)^2 $，有 $ \frac{(a + 2b)^2}{a^2 + b^2} \leq 5 ＜ 8 $，故直线与圆相交.
点睛 判断直线与圆的位置关系有代数和几何两种方法，在处理时要灵活运用.