《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

16.已知两直线$l_1:3x - y - 1 = 0$,$l_2:x + 2y - 5 = 0$.
(1)求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程；
(2)若直线$l_3:x - ay + 4a - 3 = 0$与$l_1$,$l_2$不能构成三角形，求实数$a$的值.

答案： 16.
(1)$y = 2x$，$x + y - 3 = 0$
(2)$\frac{1}{3}$，$-2$，$1$
解析
(1)联立直线方程$\begin{cases}3x - y - 1 = 0,\\x + 2y - 5 = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 1,\\y = 2,\end{cases}$
交点坐标为$(1,2)$.
当直线过原点时，在两坐标轴上截距相等均为$0$，直线方程为$y = 2x$.
当直线不过原点时，设其方程为$x + y + b = 0$，
过$(1,2)$得$1 + 2 + b = 0$，$b = -3$，
所以直线方程为$x + y - 3 = 0$.
综上：满足题意的直线方程为$y = 2x$或$x + y - 3 = 0$.
(2)直线$l_3:x - ay + 4a - 3 = 0$与$l_1$，$l_2$不能构成三角形，有三种情况：
当$l_1$与$l_3$平行时，$3a = 1$，$a=\frac{1}{3}$；
当$l_2$与$l_3$平行时，$-a = 2$，$a = -2$；
当三条直线交于一点，即$l_3$过点$(1,2)$时，
则$1 - 2a + 4a - 3 = 0$，$a = 1$.
综上所述，实数$a$的值为$\frac{1}{3}$，$-2$，$1$.

17.已知光线经过直线$l_1:3x - y + 7 = 0$和$l_2:2x + y + 3 = 0$的交点$M$，且射到$x$轴上一点$N(1,0)$后被$x$轴反射.
(1)求点$M$关于$x$轴的对称点$P$的坐标；
(2)求反射光线所在的直线$l_3$的方程；
(3)求与$l_3$距离为$\sqrt{10}$的直线方程.

答案： 17.
(1)$(-2,-1)$
(2)$y=\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$
(3)$y=\frac{1}{3}x - \frac{11}{3}$或$y=\frac{1}{3}x + 3$
解析
(1)由$\begin{cases}3x - y + 7 = 0,\\2x + y + 3 = 0\end{cases}$得$\begin{cases}x = -2,\\y = 1,\end{cases}$
所以$M(-2,1)$.
所以点$M$关于$x$轴的对称点$P$的坐标$(-2,-1)$.
(2)解法一 因为入射角等于反射角，直线$MN$的倾斜角为$\alpha$，则直线$l_3$的倾斜角为$180° - \alpha$.
$k_{MN}=\frac{0 - 1}{1 - (-2)}=-\frac{1}{3}$，
所以直线$l_3$的斜率$k_3=\frac{1}{3}$，
故反射光线所在的直线$l_3$的方程为$y=\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$.
解法二：因为入射角等于反射角，所以反射光线所在的直线$l_3$的方程就是直线$PN$的方程.
直线$PN$的方程为$\frac{y - 0}{-1 - 0}=\frac{x - 1}{-2 - 1}$，
整理得$y=\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$，
故反射光线所在的直线$l_3$的方程为$y=\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$.
(3)设与$l_3$平行的直线为$y=\frac{1}{3}x + b$，
由已知$\frac{\vert b + \frac{1}{3}\vert}{\sqrt{1 + \frac{1}{9}}}=\sqrt{10}$，解得$b = 3$或$b=-\frac{11}{3}$，
所以与$l_3$距离为$\sqrt{10}$的直线方程为$y=\frac{1}{3}x - \frac{11}{3}$或$y=\frac{1}{3}x + 3$.

18.已知直线$l:y = 2x + 1$及两点$A(-2,3)$，$B(1,6)$，点$P$在直线$l$上.
(1)若点$P$到$A$,$B$两点的距离相等，求点$P$的坐标；
(2)求$|PA| + |PB|$的最小值.

答案： 18.
(1)$(1,3)$
(2)$\frac{9}{5}\sqrt{10}$
解析
(1)设点$P$的坐标为$P(x_0,2x_0 + 1)$.
$\vert PA\vert=\vert PB\vert\Rightarrow\sqrt{(x_0 + 2)^2 + (2x_0 + 1 - 3)^2}=\sqrt{(x_0 - 1)^2 + (2x_0 + 1 - 6)^2}$，
两边平方化简得：$x_0 = 1$，
所以点$P$的坐标为$(1,3)$.
(2)直线$l:y = 2x + 1$的斜率为$2$，所以过点$B(1,6)$与直线$l$垂直的直线$l^\prime$的斜率为$-\frac{1}{2}$，所以直线$l^\prime$的方程为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{13}{2}$，直线$l$，$l^\prime$的交点$C$坐标为：
$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x+\frac{13}{2},\\y = 2x + 1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{11}{5},\\y=\frac{27}{5},\end{cases}$
所以$C(\frac{11}{5},\frac{27}{5})$，
设点$B$关于直线$l:y = 2x + 1$对称的点$B^\prime(x,y)$，
$\begin{cases}\frac{11}{5}=\frac{1 + x}{2},\frac{27}{5}=\frac{6 + y}{2}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{17}{5},\\y=\frac{24}{5}\end{cases}$
所以$B^\prime(\frac{17}{5},\frac{24}{5})$，
由平面几何的性质可知：$\vert PA\vert+\vert PB\vert$的最小值就是$AB^\prime$的长度，
即$\vert AB^\prime\vert=\sqrt{(\frac{17}{5}+2)^2+(\frac{24}{5}-3)^2}=\frac{9}{5}\sqrt{10}$.

19.已知直线$l:2x - y + 2 = 0$，点$P(3,2)$，$M$和$N$分别是直线$l$和$x$轴上的点，求$\triangle MPN$的周长最小值及此时点$M$和$N$的坐标.

答案：
19.$\triangle MPN$的周长最小值为$8$，此时点$M(0,2)$，$N(\frac{3}{2},0)$ 解析 设点$P(3,2)$关于直线$l:2x - y + 2 = 0$的对称点为$P_1(x_1,y_1)$，
则由$PP_1\perp l$，且$PP_1$的中点$(\frac{x_1 + 3}{2},\frac{y_1 + 2}{2})$在直线$l$上，即$\frac{y_1 - 2}{x_1 - 3}×2 = -1$，
$2×\frac{x_1 + 3}{2}-\frac{y_1 + 2}{2}+2 = 0$，
解得点$P_1(-\frac{9}{5},\frac{22}{5})$.
又点$P(3,2)$关于$x$轴的对称点为$P_2(3,-2)$.
连接$P_1P_2$，分别交直线$l$与$x$轴于$M$，$N$，如下图所示：

结合图像可知，
此时$\triangle MPN$的周长$=\vert PM\vert+\vert MN\vert+\vert NP\vert=\vert P_1M\vert+\vert MN\vert+\vert NP_2\vert=\vert P_1P_2\vert$，为最小，
$\vert P_1P_2\vert=\sqrt{(-\frac{9}{5}-3)^2+(\frac{22}{5}+2)^2}=\sqrt{64}=8$.
过点$P_1(-\frac{9}{5},\frac{22}{5})$和$P_2(3,-2)$的直线$P_1P_2$的斜率为$k=\frac{\frac{22}{5}-(-2)}{-\frac{9}{5}-3}=-\frac{4}{3}$，
所以$y-(-2)=-\frac{4}{3}(x - 3)$，
即直线$P_1P_2$的方程为$4x + 3y - 6 = 0$，
由$\begin{cases}4x + 3y - 6 = 0,\\2x - y + 2 = 0,\end{cases}$解得$M(0,2)$，
由$\begin{cases}4x + 3y - 6 = 0,\\y = 0\end{cases}$解得$N(\frac{3}{2},0)$.
综上，$\triangle MPN$的周长最小值为$8$，此时$M(0,2)$，$N(\frac{3}{2},0)$.