《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

5. 已知 $ \boldsymbol{a}=(2,3,-4) $，$ \boldsymbol{b}=(-4,-3,-2) $，$ \boldsymbol{b}=\frac{1}{2}\boldsymbol{x}-2\boldsymbol{a} $，则 $ \boldsymbol{x} $ 等于(B)

A.$ (0,3,-6) $
B.$ (0,6,-20) $
C.$ (0,6,-6) $
D.$ (6,6,-6) $

答案： 5.B 解析 由$\boldsymbol{b} = \frac{1}{2}\boldsymbol{x} - 2\boldsymbol{a}$，得$\boldsymbol{x} = 4\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b} = (8, 12, -16) + (-8, -6, -4) = (0, 6, -20)$。

6. 在空间直角坐标系 $ O - xyz $ 中，已知点 $ M $ 是点 $ N(3,4,5) $ 在坐标平面 $ xOy $ 内的射影，则 $ M $ 的坐标是(C)

A.$ (3,0,5) $
B.$ (0,4,5) $
C.$ (3,4,0) $
D.$ (0,0,5) $

答案： 6.C 解析 点$N(3, 4, 5)$在坐标平面$Oxy$内的射影为$(3, 4, 0)$，故点$M$的坐标是$(3, 4, 0)$。

7. 已知四点 $ A(-1,2,1) $，$ B(1,-1,3) $，$ C\left(2,\frac{1}{2},-1\right) $，$ D(x,y,0) $，且 $ \overrightarrow{AB}//\overrightarrow{CD} $，则 $ x $，$ y $ 的值分别为(C)

A.$ 3,1 $
B.$ 4,-\frac{5}{2} $
C.$ 3,-1 $
D.$ 1,1 $

答案： 7.C 解析 因为$\overrightarrow{AB} = (2, -3, 2)$，
$\overrightarrow{CD} = (x - 2, y - \frac{1}{2}, 1)$，且$\overrightarrow{AB} // \overrightarrow{CD}$，
所以$\frac{x - 2}{2} = \frac{y - \frac{1}{2}}{-3} = \frac{1}{2}$，解得$x = 3$，$y = -1$。

8. 下列空间向量中为单位向量且同时垂直于 $ \boldsymbol{a}=(1,1,1) $ 和 $ y $ 轴的是(D)

A.$ \left(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right) $
B.$ (1,0,-1) $
C.$ \left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},0\right) $
D.$ \left(\frac{\sqrt{2}}{2},0,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $

答案： 8.D 解析 设满足条件的向量为$\boldsymbol{n} = (x, y, z)$，
根据题意得$\begin{cases}x + y + z = 0 \\y = 0 \\x^2 + y^2 + z^2 = 1\end{cases}$，得$\begin{cases}x + z = 0 \\x^2 + z^2 = 1 \\y = 0\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x = \frac{\sqrt{2}}{2} \\z = -\frac{\sqrt{2}}{2} \\y = 0\end{cases}$或$\begin{cases}x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \\z = \frac{\sqrt{2}}{2} \\y = 0\end{cases}$，
由选项判断可知D正确。

9. 已知向量 $ \boldsymbol{a}=(1,-1,0) $，则与 $ \boldsymbol{a} $ 共线的一个单位向量 $ \boldsymbol{e}= $(B)

A.$ \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0\right) $
B.$ \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},0\right) $
C.$ (1,1,0) $
D.$ (0,0,1) $

答案： 9.B 解析 设$\boldsymbol{e} = \lambda\boldsymbol{a} = (\lambda, -\lambda, 0)(\lambda \in \mathbb{R})$，由已知可得$|\boldsymbol{e}| = \sqrt{\lambda^2 + (-\lambda)^2} = \sqrt{2}|\lambda| = 1$，解得$\lambda = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。
因此，$\boldsymbol{e} = (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$或$\boldsymbol{e} = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$。

10. 设 $ x,y\in\mathbf{R} $，向量 $ \boldsymbol{a}=(x,1,1) $，$ \boldsymbol{b}=(1,y,1) $，$ \boldsymbol{c}=(2,-4,2) $，且 $ \boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{c} $，$ \boldsymbol{b}//\boldsymbol{c} $，则 $ |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| = $(C)

A.$ 2\sqrt{2} $
B.$ \sqrt{10} $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

答案： 10.C 解析 因为$\boldsymbol{b} // \boldsymbol{c}$，所以存在$\lambda \in \mathbb{R}$使得$\boldsymbol{b} = \lambda\boldsymbol{c}$，
所以$\begin{cases}1 = 2\lambda \\y = -4\lambda\end{cases}$，解得$\begin{cases}\lambda = \frac{1}{2} \\y = -2\end{cases}$，所以$\boldsymbol{b} = (1, -2, 1)$。
因为$\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{c}$，所以$2x - 4 + 2 = 0$，得$x = 1$，
所以$\boldsymbol{a} = (1, 1, 1)$，所以$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (2, -1, 2)$，
所以$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$。

11. 已知点 $ P $ 是平行四边形 $ ABCD $ 所在的平面外一点，如果 $ \overrightarrow{AB}=(2,-1,-4) $，$ \overrightarrow{AD}=(4,2,0) $，$ \overrightarrow{AP}=(-1,2,-1) $，下列结论中正确的有(ABC)

A.$ AP\perp AB $
B.$ AP\perp AD $
C.$ \overrightarrow{AP} $ 是平面 $ ABCD $ 的一个法向量
D.$ \overrightarrow{AP}//\overrightarrow{BD} $

答案： 11.ABC 解析 因为$\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AP} = -2 - 2 + 4 = 0$，
所以$AP \perp AB$，A正确；
因为$\overrightarrow{AD} · \overrightarrow{AP} = -4 + 4 = 0$，
所以$AP \perp AD$，B正确；
由$AP \perp AB$，$AP \perp AD$，可得$\overrightarrow{AP}$是平面$ABCD$的一个法向量，C正确；
$BD$在平面$ABCD$内，可得$AP \perp BD$，D错误。

12. 已知直线 $ l_{1} $、$ l_{2} $ 的方向向量分别是 $ \overrightarrow{AB}=(2,4,x) $，$ \overrightarrow{CD}=(2,y,2) $，若 $ |\overrightarrow{AB}| = 6 $ 且 $ l_{1}\perp l_{2} $，则 $ x + y $ 的值可以是(AC)

A.$ -3 $
B.$ -1 $
C.$ 1 $
D.$ 3 $

答案： 12.AC 解析 $\overrightarrow{AB} = (2, 4, x)$，$\overrightarrow{CD} = (2, y, 2)$，
若$|\overrightarrow{AB}| = 6$且$l_1 \perp l_2$，
则$\begin{cases}\sqrt{2^2 + 4^2 + x^2} = 6 \\2 × 2 + 4y + 2x = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 4 \\y = -3\end{cases}$或$\begin{cases}x = -4 \\y = 1\end{cases}$，
所以$x + y = 1$或$-3$。

13. 在三棱柱 $ ABC - A_{1}B_{1}C_{1} $ 中，$ M $，$ N $ 分别是 $ A_{1}B $，$ B_{1}C_{1} $ 上的点，且 $ BM = 2A_{1}M $，$ C_{1}N = 2B_{1}N $。设 $ \overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a} $，$ \overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b} $，$ \overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{c} $，若 $ \angle BAC = 90^{\circ} $，$ \angle BAA_{1}=\angle CAA_{1}=60^{\circ} $，$ AB = AC = AA_{1}=1 $，则下列说法中正确的是(BC)


A.$ \overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\boldsymbol{a}+\frac{1}{3}\boldsymbol{b}+\frac{2}{3}\boldsymbol{c} $
B.$ |\overrightarrow{MN}|=\frac{\sqrt{5}}{3} $
C.$ \overrightarrow{A_{1}B}·\overrightarrow{A_{1}C_{1}}=-\frac{1}{2} $
D.直线 $ AB_{1} $ 与 $ BC_{1} $ 所成的角为 $ 30^{\circ} $

答案： 13.BC 解析 由题意，在$ABC - A_1B_1C_1$中，$BM = 2A_1M$，$C_1N = 2B_1N$，且$\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AC} = \boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AA_1} = \boldsymbol{c}$，
$\angle BAC = 90°$，$\angle BAA_1 = \angle CAA_1 = 60°$，$AB = AC = AA_1 = 1$。
对于A项，根据向量的运算法则，可得
$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA_1} + \overrightarrow{A_1C_1} + \overrightarrow{C_1N}$
$= \frac{1}{3}\overrightarrow{BA_1} + \overrightarrow{A_1C_1} + \frac{2}{3}\overrightarrow{C_1B_1}$
$= \frac{1}{3}(\boldsymbol{c} - \boldsymbol{a}) + \boldsymbol{b} + \frac{2}{3}(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b})$
$= \frac{1}{3}\boldsymbol{a} + \frac{1}{3}\boldsymbol{b} + \frac{1}{3}\boldsymbol{c}$，
所以A不正确；
对于B项，
因为$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\boldsymbol{a} + \frac{1}{3}\boldsymbol{b} + \frac{1}{3}\boldsymbol{c} = \frac{1}{3}(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c})$，
可得$|\overrightarrow{MN}|^2 = \overrightarrow{MN}^2$
$= \frac{1}{9}(\boldsymbol{a}^2 + \boldsymbol{b}^2 + \boldsymbol{c}^2 + 2\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} + 2\boldsymbol{a} · \boldsymbol{c} + 2\boldsymbol{b} · \boldsymbol{c})$
$= \frac{1}{9}(1^2 + 1^2 + 1^2 + 0 + 2 × 1 × 1 × \cos 60° + 2 × 1 × 1 × \cos 60°) = \frac{5}{9}$，
所以$|\overrightarrow{MN}| = \frac{\sqrt{5}}{3}$，所以B正确。
对于C项，由$\overrightarrow{A_1B} = \boldsymbol{a} - \boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{A_1C_1} = \boldsymbol{b}$，则
$\overrightarrow{A_1B} · \overrightarrow{A_1C_1} = (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{c}) · \boldsymbol{b}$
$= \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} - \boldsymbol{c} · \boldsymbol{b} = 0 - 1 × 1 × \cos 60° = -\frac{1}{2}$，
所以C正确。
对于D项，由$\overrightarrow{AB_1} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{BC_1} = -\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}$，
可得$|\overrightarrow{AB_1}| = \sqrt{\boldsymbol{a}^2 + \boldsymbol{c}^2 + 2\boldsymbol{a} · \boldsymbol{c}} = \sqrt{3}$，$|\overrightarrow{BC_1}| = \sqrt{3}$，
且$\overrightarrow{AB_1} · \overrightarrow{BC_1} = (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{c}) · (-\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c})$
$= -1 + 0 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$，
则$\cos \langle \overrightarrow{AB_1}, \overrightarrow{BC_1} \rangle = \frac{\overrightarrow{AB_1} · \overrightarrow{BC_1}}{|\overrightarrow{AB_1}| · |\overrightarrow{BC_1}|} = \frac{1}{6}$，
所以D错误。故选：BC。