《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

【例4】 $F_1,F_2$分别是椭圆$C:\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{9}=1$
的左、右焦点，点$P$在椭圆$C$上，$\vert PF_1\vert=10$，
过$F_1$作$\angle F_1PF_2$的角平分线的垂线，垂足为$M$，则$\vert OM\vert$的长为.

答案：
答案 2
解析 如下图所示，延长$PF_2$和$F_1M$
交于点$N$.

由椭圆定义可知：
$\vert PF_1\vert+\vert PF_2\vert=16$，又$\vert PF_1\vert=10$，
所以$\vert PF_2\vert=6$.
$\begin{cases}\angle F_1PM=\angle F_2PM\\PM\perp F_1M\\PM=PM\end{cases}\Rightarrow\triangle F_1PM\cong\triangle NPM$，
所以$\vert PN\vert=\vert PF_1\vert=10$，
所以$\vert F_2N\vert=4$，$M$是$F_1N$中点，
又因为$O$是$F_1F_2$的中点，
所以$\vert OM\vert=\frac{1}{2}\vert F_2N\vert=2$.
点睛 运用椭圆定义，结合等腰三角形的
性质得到线段$\vert F_2N\vert=4$，从而根据对称得
到中位线$\vert OM\vert=2$.

变式4 已知$P$为椭圆$C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$上
的动点，点$A(2,-1),B$是圆$C_1:(x-1)^2+$
$y^2=1$上的动点，则$\vert PB\vert-\vert PA\vert$的最大值为
()

A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{2}+1$
C.3
D.$5-\sqrt{10}$

答案：
答案 D
解析 运用定义转换.
设椭圆的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，当$P$
固定在椭圆上某一点时，如下图所示：

$\vert PB\vert\leq\vert PC_1\vert+1=5-\vert PF_1\vert$，
所以$(\vert PB\vert-\vert PA\vert)_{max}$
$=(5-\vert PF_1\vert-\vert PA\vert)_{max}$，
因为当$P$位于线段$AF_1$与椭圆$C$的交点时，
$(\vert PF_1\vert+\vert PA\vert)_{min}=\vert AF_1\vert=\sqrt{10}$，
所以$(\vert PB\vert-\vert PA\vert)_{max}=5-\sqrt{10}$.
点睛 “双动”模型的基本转化方法是
“一动一定”，即先固定其中一个动点，将问题
转化单个动点的最值问题.运用双焦点的相
互转置即椭圆的定义，是解决此类问题的本
原性方法.