《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

14. 已知向量 $ \boldsymbol{a}=(1,2,3) $，$ \boldsymbol{b}=(3,0,-1) $，$ \boldsymbol{c}=(-1,5,-3) $，下列等式中正确的是(BCD)

A.$ (\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b})\boldsymbol{c}=\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c} $
B.$ (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})·\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}·(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) $
C.$ (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})^{2}=\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{b}^{2}+\boldsymbol{c}^{2} $
D.$ |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}| $

答案： 14.BCD 解析 A：左边为向量，右边为实数，显然不相等，A不正确；
B：左边$ = (4, 2, 2) · (-1, 5, -3) = -4 + 10 - 6 = 0$，
右边$ = (1, 2, 3) · (2, 5, -4) = 2 + 10 - 12 = 0$，
所以左边$ = $右边，因此B正确。
C：$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c} = (3, 7, -1)$，
左边$ = 3^2 + 7^2 + (-1)^2 = 59$，
右边$ = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 3^2 + 0 + (-1)^2 + (-1)^2 + 5^2 + (-3)^2 = 59$，
所以左边$ = $右边，因此C正确。
D：由C可得左边$ = \sqrt{59}$，
因为$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} - \boldsymbol{c} = (-1, -3, 7)$，
所以$|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} - \boldsymbol{c}| = \sqrt{59}$，
所以左边$ = $右边，因此D正确。

15. 已知空间向量 $ \boldsymbol{a}=(-2,-1,1) $，$ \boldsymbol{b}=(3,4,5) $，则下列结论中正确的是(BCD)

A.$ (2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})//\boldsymbol{a} $
B.$ 5|\boldsymbol{a}|=\sqrt{3}|\boldsymbol{b}| $
C.$ \boldsymbol{a}\perp(5\boldsymbol{a}+6\boldsymbol{b}) $
D.$ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 夹角的余弦值为 $ -\frac{\sqrt{3}}{6} $

答案： 15.BCD 解析 A：因为$2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (-1, 2, 7)$，
所以$\frac{-1}{|-2|} \neq \frac{2}{-1} \neq \frac{7}{1}$，A错误；
B：因为$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$，
$|\boldsymbol{b}| = \sqrt{9 + 16 + 25} = 5\sqrt{2}$，
所以$5|\boldsymbol{a}| = \sqrt{3}|\boldsymbol{b}| = 5\sqrt{6}$，B正确；
C：因为$\boldsymbol{a} · (5\boldsymbol{a} + 6\boldsymbol{b}) = 5\boldsymbol{a}^2 + 6\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}$
$= 30 + 6 × (-6 - 4 + 5) = 0$，
所以$\boldsymbol{a} \perp (5\boldsymbol{a} + 6\boldsymbol{b})$，C正确；
D：因为$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = -6 - 4 + 5 = -5$，
所以$\cos \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle = \frac{\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}| · |\boldsymbol{b}|} = \frac{-5}{\sqrt{6} × 5\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{3}}{6}$，
D正确。

16. 已知直三棱柱 $ ABC - A_{1}B_{1}C_{1} $ 中，$ AB\perp BC $，$ AB = BC = BB_{1} $，$ O $ 为 $ A_{1}C $ 的中点。点 $ P $ 满足 $ \overrightarrow{BP}=\lambda\overrightarrow{BC_{1}} $，其中 $ \lambda\in[0,1] $，则(ACD)

A.对任意 $ \lambda\in[0,1] $，都有 $ A_{1}P\perp OB_{1} $
B.当 $ \lambda=\frac{1}{3} $ 时，直线 $ A_{1}P $ 与 $ AB $ 所成的角是 $ 30^{\circ} $
C.当 $ \lambda=\frac{1}{2} $ 时，直线 $ A_{1}P $ 与平面 $ A_{1}B_{1}C_{1} $ 所成角的正切值为 $ \frac{\sqrt{5}}{5} $
D.当 $ \lambda=\frac{1}{2} $ 时，直线 $ A_{1}P $ 与 $ OB_{1} $ 相交于一点 $ Q $，则 $ \frac{PQ}{QA_{1}}=\frac{1}{2} $

答案：
16.ACD 解析 以$BA$，$BC$，$BB_1$为$x$，$y$，$z$轴，建立如下图所示空间直角坐标系.

设$AB = 1$，则$A_1(1, 0, 1)$，$O(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$，
$B_1(0, 0, 1)$，$B(0, 0, 0)$，$C_1(0, 1, 1)$。
因为$\overrightarrow{BP} = \lambda\overrightarrow{BC_1}$，所以$P(0, \lambda, \lambda)$。
A：因为$\overrightarrow{A_1P} = (-1, \lambda, \lambda - 1)$，
$\overrightarrow{OB_1} = (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$，
$\overrightarrow{A_1P} · \overrightarrow{OB_1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\lambda + \frac{1}{2}\lambda - \frac{1}{2} = 0$，
所以$\overrightarrow{A_1P} \perp \overrightarrow{OB_1}$，所以$\overrightarrow{A_1P} \perp OB_1$，故A正确；
B：当$\lambda = \frac{1}{3}$时，$\overrightarrow{A_1P} = (-1, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3})$，
$\overrightarrow{AB} = (-1, 0, 0)$，
所以$|\cos \langle \overrightarrow{A_1P}, \overrightarrow{AB} \rangle| = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{9} + \frac{4}{9}} × \sqrt{1}} = \frac{3\sqrt{14}}{14} \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以直线$A_1P$与$AB$所成角不是$30°$，故B错误；
C：当$\lambda = \frac{1}{2}$时，$\overrightarrow{A_1P} = (-1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$，
取平面$A_1B_1C_1$的一个法向量为$\boldsymbol{n} = (0, 0, 1)$，
所以$|\cos \langle \overrightarrow{A_1P}, \boldsymbol{n} \rangle| = \frac{|\frac{-1}{2}|}{\sqrt{1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} × \sqrt{1}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$，
设直线$A_1P$与平面$A_1B_1C_1$所成角为$\theta$，
所以$\sin \theta = \frac{\sqrt{6}}{6}$，$\cos \theta = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{6}}{6})^2} = \frac{\sqrt{30}}{6}$，
所以$\tan \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$，故C正确；
D：当$\lambda = \frac{1}{2}$时，如下图所示，$P$为$B_1C$中点，$O$为
$A_1C$中点，连接$OP$，

所以$OP // A_1B_1$，$OP = \frac{1}{2}A_1B_1$，
所以$\frac{PQ}{QA_1} = \frac{OP}{A_1B_1} = \frac{1}{2}$，故D正确。

17. 已知 $ x ＞ 0 $，若向量 $ \boldsymbol{a}=(x,1,0) $，$ \boldsymbol{b}=(1,0,-2) $，$ (2\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b})\perp(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}) $，则 $ x = $$\frac{7}{2}$。

答案： 17.$\frac{7}{2}$ 解析 因为$\boldsymbol{a} = (x, 1, 0)$，$\boldsymbol{b} = (1, 0, -2)$，
所以$2\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b} = (2x - 3, 2, 6)$，
$\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b} = (x + 2, 1, -4)$，
因为$(2\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b}) \perp (\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b})$，所以
$(2\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b}) · (\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}) = (2x - 3)(x + 2) - 22 = 0$，
由$x ＞ 0$，解得$x = \frac{7}{2}$。

18. 在三棱锥 $ P - ABC $ 中，三条侧棱 $ PA $，$ PB $，$ PC $ 两两垂直，$ PA = 1 $，$ PB = 2 $，且 $ \triangle ABC $ 的面积为 $ \sqrt{6} $，则 $ PC $ 的长为2。

答案：
18.2 解析 依题意建立如下图所示的空间直角坐标系.

设$PC = m(m ＞ 0)$，
则$A(0, 1, 0)$，$B(2, 0, 0)$，$C(0, 0, m)$，
所以$\overrightarrow{AC} = (0, -1, m)$，$\overrightarrow{AB} = (2, -1, 0)$，
所以$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}| · |\overrightarrow{AB}| \sin \angle CAB$
$= \frac{1}{2} × \sqrt{|\overrightarrow{AC}|^2 · |\overrightarrow{AB}|^2 - (\overrightarrow{AC} · \overrightarrow{AB})^2} = \sqrt{6}$，
即$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × \sqrt{(m^2 + 1) × 5 - 1^2} = \sqrt{6}$，
所以$m^2 = 4$，解得$m = 2$。

19. 如下图所示，正方体 $ ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} $ 的棱长为 $ 4 $，$ MN $ 是它内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，$ P $ 为正方体表面上的动点，当弦 $ MN $ 的长度最大时，$ \overrightarrow{PM}·\overrightarrow{PN} $ 的取值范围是$[0, 8]$。

答案：
19.$[0, 8]$ 解析 当弦$MN$的长度最大时，弦过球心$O$，如下图所示，建立空间直角坐标系.

不妨设$M$，$N$是上下底面的中心，
则$M(2, 2, 4)$，$N(2, 2, 0)$，$P(x, y, z)$，
$\overrightarrow{PM} = (2 - x, 2 - y, 4 - z)$，
$\overrightarrow{PN} = (2 - x, 2 - y, -z)$，
则$\overrightarrow{PM} · \overrightarrow{PN} = (2 - x)^2 + (2 - y)^2 - z(4 - z)$
$= (x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 - 4$，
而$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2$表示点$P(x, y, z)$和定点$(2, 2, 2)$距离的平方，很显然正方体的顶点到定点$(2, 2, 2)$距离的平方最大，最大值是$(\frac{1}{2}\sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2}) = 12$。
正方体面的中心到定点的距离的平方最小，最小值是$4$，所以$\overrightarrow{PM} · \overrightarrow{PN}$的最小值是$4 - 4 = 0$，最大值是$12 - 4 = 8$。

20. 在空间直角坐标系 $ O - xyz $ 中，已知 $ A(-1,0,2) $，$ B(0,1,-1) $，点 $ C $，$ D $ 分别在 $ x $ 轴，$ y $ 轴上，且 $ AD\perp BC $，那么 $ |\overrightarrow{CD}| $ 的最小值是$\sqrt{2}$。

答案： 20.$\sqrt{2}$ 解析 设$C(x, 0, 0)$，$D(0, y, 0)$，
因为$A(-1, 0, 2)$，$B(0, 1, -1)$，
所以$\overrightarrow{AD} = (1, y, -2)$，$\overrightarrow{BC} = (x, -1, 1)$，
因为$AD \perp BC$，所以$\overrightarrow{AD} · \overrightarrow{BC} = x - y - 2 = 0$，
即$x = y + 2$。因为$\overrightarrow{CD} = (-x, y, 0)$，
所以$|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(2 + y)^2 + y^2}$
$= \sqrt{2y^2 + 4y + 4} = \sqrt{2(y + 1)^2 + 2} \geqslant \sqrt{2}$，
当$y = -1$时取最小值。

21. 在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如下图所示的木质正四棱锥模型 $ P - ABCD $，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥。某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点 $ A $ 作一个平面分别交 $ PB $，$ PC $，$ PD $ 于点 $ E $，$ F $，$ G $，得到四棱锥 $ P - AEFG $；第二步，将剩下的几何体沿平面 $ ACF $ 切开，得到另外两个小四棱锥。在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形 $ AEFG $，若 $ \frac{PE}{PB}=\frac{3}{5} $，$ \frac{PF}{PC}=\frac{1}{2} $，则 $ \frac{PG}{PD} $ 的值为$\frac{3}{4}$。

答案：
21.$\frac{3}{4}$ 解析 建立如下图所示空间直角坐标系.

设$P(0, 0, b)$，$A(a, 0, 0)$，$B(0, a, 0)$，
$D(0, -a, 0)$，$C(-a, 0, 0)(a, b$均不为$0)$，
则$\overrightarrow{PB} = (0, a, -b)$，$\overrightarrow{PC} = (-a, 0, -b)$，
$\overrightarrow{PD} = (0, -a, -b)$，$\overrightarrow{PA} = (a, 0, -b)$，
所以$\overrightarrow{PE} = \frac{3}{5}\overrightarrow{PB} = (0, \frac{3a}{5}, -\frac{3b}{5})$，
$\overrightarrow{PF} = \frac{1}{2}\overrightarrow{PC} = (-\frac{a}{2}, 0, -\frac{b}{2})$，
由题意$A$，$E$，$F$，$G$四点共面，
有$\overrightarrow{PA} = x\overrightarrow{PE} + y\overrightarrow{PF} + z\overrightarrow{PG}$，其中$x + y + z = 1$，
设$\overrightarrow{PG} = \lambda\overrightarrow{PD} = (0, -a\lambda, -b\lambda)$，$\lambda \in (0, 1)$，
所以$(a, 0, -b) = x(0, \frac{3a}{5}, -\frac{3b}{5}) +$
$y(-\frac{a}{2}, 0, -\frac{b}{2}) + z(0, -a\lambda, -b\lambda)$
$= (-\frac{ay}{2}, \frac{3ax}{5} - a\lambda z, -\frac{3bx}{5} - \frac{by}{2} - b\lambda z)$，
所以$\begin{cases}-\frac{ay}{2} = a \frac{3ax}{5} - a\lambda z = 0 \\-\frac{3bx}{5} - \frac{by}{2} - b\lambda z = -b\end{cases}$，
由方程组$\begin{cases}-\frac{ay}{2} = a \frac{3ax}{5} - a\lambda z = 0 \\-\frac{3bx}{5} - \frac{by}{2} - b\lambda z = -b\end{cases}$，
即$\begin{cases}y = -2 \frac{3x}{5} - \lambda z = 0 \\-\frac{3x}{5} - \frac{y}{2} - \lambda z = -1\end{cases}$，
即$\begin{cases}y = -2 \frac{3x}{5} - \lambda z = 0 \\-\frac{3x}{5} + 1 - \lambda z = -1\end{cases}$，
即$\begin{cases}y = -2 \frac{3x}{5} - \lambda z = 0 \\-\frac{3x}{5} - \lambda z = -2\end{cases}$，
即$\begin{cases}y = -2 \frac{3x}{5} + \frac{3x}{5} = 2 \\x + y + z = 1\end{cases}$，
解得$\lambda = \frac{3}{4}$。