《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

变式 5 已知圆 $ C:x^2 + y^2 = 4 $，直线 $ l:x - y + 6 = 0 $，在直线 $ l $ 上任取一点 $ P $ 向圆 $ C $ 作切线，切点为 $ A $，$ B $，连接 $ AB $，则直线 $ AB $ 一定过定点()

A.$ \left(-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right) $
B.$ (1,2) $
C.$ (-2,3) $
D.$ \left(-\frac{4}{3},\frac{4}{3}\right) $

答案：
答案 A
解析 本题考查直线过定点、两相交圆公共弦所在直线方程的求解. 如下图所示，设点 $ P(x_0,y_0) $，则 $ x_0 - y_0 + 6 = 0 $. 以 $ CP $ 为直径的圆的方程为 $ x(x - x_0) + y(y - y_0) = 0 $，
又因为圆 $ C:x^2 + y^2 = 4 $，作差可得直线 $ AB $ 的方程为 $ xx_0 + yy_0 = 4 $. 又因为 $ y_0 = x_0 + 6 $，代入可得 $ (x + y)x_0 + 6y - 4 = 0 $，满足 $ \begin{cases} x + y = 0, \\ 6y - 4 = 0, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = -\frac{2}{3}, \\ y = \frac{2}{3}, \end{cases} $ 故直线 $ AB $ 一定过定点 $ \left(-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right) $.

点睛 已知点 $ A(x_1,y_1) $，$ B(x_2,y_2)(x_1 \neq x_2) $，则以线段 $ AB $ 为直径的圆的方程为 $ (x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0 $.

【例 6】 如下图所示，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，点 $ A(0,3) $，直线 $ l:y = 2x - 4 $. 设圆 $ C $ 的半径为 $ 1 $，圆心在 $ l $ 上.

(1) 若圆心 $ C $ 也在直线 $ y = x - 1 $ 上，过点 $ A $ 作圆 $ C $ 的切线，求切线方程；
(2) 若圆 $ C $ 上存在点 $ M $，使 $ |MA| = 2|MO| $，求圆心 $ C $ 的横坐标 $ a $ 的取值范围.

答案： 答案
(1) $ y = 3 $ 或 $ 3x + 4y - 12 = 0 $
(2) $ \left[0,\frac{12}{5}\right] $
解析
(1) 由题设，圆心 $ C $ 是直线 $ l:y = 2x - 4 $ 和 $ y = x - 1 $ 的交点，解得点 $ C(3,2) $，于是切线的斜率必存在.
设过 $ A(0,3) $ 的圆 $ C $ 的切线方程为 $ y = kx + 3 $.
由题意得 $ \frac{|3k + 1|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1 $，
所以 $ k = 0 $ 或 $ k = -\frac{3}{4} $.
故所求的切线方程为 $ y = 3 $ 或 $ 3x + 4y - 12 = 0 $.
(2) 设圆 $ C $ 的方程为 $ (x - a)^2 + [y - 2(a - 2)]^2 = 1 $.
设点 $ M(x,y) $，由 $ |MA| = 2|MO| $ 得 $ \sqrt{x^2 + (y - 3)^2} = 2\sqrt{x^2 + y^2} $，
得圆 $ D:x^2 + (y + 1)^2 = 4 $.
又点 $ M(x,y) $ 在圆 $ C $ 上，故两圆有公共点，所以 $ 2 - 1 \leq |CD| \leq 1 + 2 $，
即 $ 1 \leq \sqrt{a^2 + (2a - 3)^2} \leq 3 $，
所以 $ 0 \leq a \leq \frac{12}{5} $.
点睛 圆外一点作圆的切线有且仅有两条，直接应用阿波罗尼斯圆即可求解.