《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

[例1]如下图所示，已知四边形ABCD
是直角梯形,AD//BC,∠ABC=90°,SA⊥
平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=$\frac{1}{2}$,试
建立适当的坐标系.

(1)求平面ABCD的一个法向量;
(2)求平面SAB的一个法向量;
(3)求平面SCD的一个法向量.

答案：
答案
(1)(0,0,1)
(2)($\frac{1}{2}$,0,0)
(3)(2,−1,1).
解析 以点A为原点，AD,AB，AS所
在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如下
图所示的空间直角坐标系:

则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),
D($\frac{1}{2}$,0,0),S(0,01).
(1)因为SA⊥平面ABCD,所以A忘=
(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.
(2)因为AD⊥AB,AD⊥SA,所以AD
平面SAB,所以AD=($\frac{1}{2}$,0,0)是平面
SAB的一个法向量.
(3)在平面SCD中，
DC=($\frac{1}{2}$,1,0),SC=(1,1,−1).
设平面SCD的法向量是n=(x,y,z),
则n⊥DC,n⊥SC,
n.DC=0
所以{n.sC=0，得方程组
$\frac{1}{2}$x+y=0,所以{x=−2y,
x=−y,
{
x+y−z=0,
令y=−1,则z=1,x=2,
所以n=(2,−1,1).
所以n=(2,−1,1)是平面SCD的一个
法向量.
点睛 求平面法向量的步骤:
(1)设平面的一个法向量n=(x,y,z);
(2)在已知平面内找两个不共线向量a
=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3);
(3)建立方程组
{nn..ab==00,,
即{xxab11++yyba22++zxba33==00;,
(4)解方程组.用一个未知量表示其他两
个未知量，然后对用来表示两未知量的未知
量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量.