《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

【例1】一条直线$l$与$x$轴相交，其向上方向与$y$轴正方向所成的角为$\alpha(0° ＜ \alpha ＜ 90°)$，则其倾斜角为
()

A.$\alpha$
B.$180° - \alpha$
C.$180° - \alpha$或$90° - \alpha$
D.$90° + \alpha$或$90° - \alpha$

答案： 答案 D
解析 如下图所示，当$l$向上方向的部分在$y$轴左侧时，倾斜角为$90° + \alpha$；当$l$向上方向的部分在$y$轴右侧时，倾斜角为$90° - \alpha$.

变式1 已知斜率为$2$的直线$l$与$x$轴相交于点$A$，直线$l$绕点$A$逆时针旋转$45°$得到直线$l'$，则直线$l'$的斜率为.

答案： 答案 $-3$
解析 设直线$l$的倾斜角为$\alpha$，则$\tan\alpha = 2$，直线$l$绕点$A$逆时针旋转$45°$得到直线$l'$，设直线$l'$的倾斜角为$\beta$，则$\beta = \alpha + 45°$，$\tan\beta = \tan(\alpha + 45°) = \frac{\tan\alpha + \tan45°}{1 - \tan\alpha\tan45°} = \frac{2 + 1}{1 - 2} = -3$.

【例2】若正方形一条对角线所在直线的斜率为$2$，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为，.

答案： 答案 $\frac{1}{3}$，$-3$
解析 设正方形为$OABC$，已知对角线为$OB$，设$OB$的倾斜角为$\theta$，则$k_{OB} = 2$，$k_{OA} = \tan(\theta - 45°) = \frac{\tan\theta - 1}{1 + \tan\theta} = \frac{1}{3}$，$k_{OC} = \tan(\theta + 45°) = \frac{\tan\theta + 1}{1 - \tan\theta} = -3$，所以两条邻边所在直线的斜率分别为$\frac{1}{3}$和$-3$.
点睛 已知倾斜角求斜率时，若$\alpha \neq 90°$，根据公式$k = \tan\alpha$直接计算，若$\alpha = 90°$，斜率不存在.