《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

1. 若直线$x = 1$的倾斜角为$\alpha$，则$\alpha$等于(C)

A.$0$
B.$45°$
C.$90°$
D.不存在

答案： 1.C 解析 直线$x=1$垂直于$x$轴，倾斜角为$90^{\circ}$.

2. 已知直线$l$的斜率的绝对值等于$\sqrt{3}$，则直线的倾斜角为
(C)

A.$60°$
B.$30°$
C.$60°$或$120°$
D.$30°$或$50°$

答案： 2.C 解析 因为$\vert k\vert=\sqrt{3}$，则$k=\pm\sqrt{3}$，即$\tan\alpha=\pm\sqrt{3}$，$\alpha\in[0,180^{\circ})$，所以$\alpha=60^{\circ}$或$120^{\circ}$.

3. 若三点$P(2, 3)$，$Q(3, a)$，$R(4, b)$共线，那么下列选项中成立的是
(C)

A.$a = 4$，$b = 5$
B.$b - a = 1$
C.$2a - b = 3$
D.$a - 2b = 3$

答案： 3.C 解析 因为$P$，$Q$，$R$三点共线，则$k_{PQ}=k_{PR}$，即$\frac{a - 3}{3 - 2}=\frac{b - 3}{4 - 2}$，$2a - b = 3$.

4. 下图中的直线$l_1$，$l_2$，$l_3$的斜率分别为$k_1$，$k_2$，$k_3$，则
(D)


A.$k_1 ＜ k_2 ＜ k_3$
B.$k_3 ＜ k_1 ＜ k_2$
C.$k_3 ＜ k_2 ＜ k_1$
D.$k_1 ＜ k_3 ＜ k_2$

答案： 4.D 解析 考虑倾斜角与斜率的关系.

5. 若$a = \frac{\ln2}{1}$，$b = \frac{\ln3}{2}$，$c = \frac{\ln5}{4}$，则
(B)

A.$a ＜ b ＜ c$
B.$c ＜ b ＜ a$
C.$c ＜ a ＜ b$
D.$b ＜ a ＜ c$

答案：
5.B 解析 $a=\frac{\ln2}{1}=\frac{\ln2 - 0}{2 - 1}$，$b=\frac{\ln3}{2}=\frac{\ln3 - 0}{3 - 1}$，$c=\frac{\ln5}{4}=\frac{\ln5 - 0}{5 - 1}$分别表示$(2,\ln2)$，$(3,\ln3)$，$(5,\ln5)$与$(1,0)$连线的斜率.由下图可知，$c＜b＜a$.

6. 已知直线$l_1$与$l_2$为两条不重合的直线，则下列命题中正确的是
(BCD)

A.若$l_1 // l_2$，则斜率$k_1 = k_2$
B.若斜率$k_1 = k_2$，则$l_1 // l_2$
C.若倾斜角$\alpha_1 = \alpha_2$，则$l_1 // l_2$
D.若$l_1 // l_2$，则倾斜角$\alpha_1 = \alpha_2$

答案： 6.BCD 解析 对于A，若$l_1// l_2$的倾斜角均为$\frac{\pi}{2}$，则直线$l_1$与$l_2$的斜率不存在，故A错误；对于B，若斜率$k_1 = k_2$，且直线$l_1$与$l_2$为两条不重合的直线，则$l_1// l_2$，故B正确；对于C，若倾斜角$\alpha_1 = \alpha_2$，且直线$l_1$与$l_2$为两条不重合的直线，由平行线的性质可得$l_1// l_2$，故C正确；对于D，若$l_1// l_2$，由平行线的性质可得倾斜角$\alpha_1=\alpha_2$，故D正确.

7. 下列命题中，是假命题的是
(ABD)

A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B.若直线的倾斜角为$\alpha$，则直线的斜率为$\tan\alpha$
C.若直线倾斜角$\alpha \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{2\pi}{3}\right]$，则斜率$k$的取值范围是$(-\infty, -\sqrt{3}] \cup [1, +\infty)$
D.若直线的斜率为$\tan\alpha$，则直线的倾斜角为$\alpha$

答案： 7.ABD 解析 A：若直线的倾斜角是锐角，则斜率大于零，若直线的倾斜角是钝角，则斜率小于零，所以该选项错误；B：若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误；C：若直线倾斜角$\alpha\in[\frac{\pi}{4},\frac{2\pi}{3}]$，则斜率$k$的取值范围是$(-\infty,-\sqrt{3}]\cup[1,+\infty)$，所以该选项正确；D：若直线的斜率为$\tan\frac{7\pi}{3}$，显然直线的倾斜角为不是$\frac{7}{3}\pi$，而是$\frac{\pi}{3}$，所以该选项错误.

8. 已知两点$A(x, -2)$，$B(3, 0)$，并且直线$AB$的斜率为$2$，则$x =$2.

答案： 8.2 解析 由斜率公式，得$k_{AB}=\frac{0 - (-2)}{3 - x}=2$，解得$x = 2$.

9. 平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为$[0,\pi)$，一条直线可能经过$0$，$2$，$3$个象限.

答案： 9.$[0,\pi)$；$0$，$2$，$3$. 解析 倾斜角的范围为$[0,\pi)$；当直线与坐标轴重合时，不经过任何象限；当直线经过原点或斜率为$0$或斜率不存在（不含$x$，$y$轴）时，经过$2$个象限；当直线不过原点，斜率存在且不为$0$时，经过$3$个象限.

10. 若点$A(1, 2)$，$B(-2, 3)$，$C(4, y)$在同一条直线上，则$y$的值是1.

答案： 10.1 解析 由$k_{AB}=k_{AC}$，$\frac{3 - 2}{-2 - 1}=\frac{y - 2}{4 - 1}$，解得$y = 1$.

11. 若直线$l$过点$A(1, 2)$，且不经过第四象限，那么直线$l$的斜率的取值范围是$[0,2]$.

答案： 11.$[0,2]$ 解析 当直线过点$A$且平行于$x$轴时，直线斜率取得最小值$k_{\min}=0$；当直线过点$A(1,2)$与原点$O(0,0)$时，直线斜率取得最大值$k_{\max}=2$，所以直线的斜率的取值范围是$[0,2]$.

12. 若直线$l$的斜率$k \in \left(-\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$，则此直线的倾斜角$\alpha$的取值范围为$[0,\frac{\pi}{6}]\cup(\frac{2\pi}{3},\pi)$.

答案： 12.$[0,\frac{\pi}{6}]\cup(\frac{2\pi}{3},\pi)$ 解析 设直线$l$的倾斜角为$\alpha$，则$\alpha\in[0,\pi)$.因为直线斜率$k$满足$-\sqrt{3}＜k\leq\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$-\sqrt{3}＜\tan\alpha$或$0\leq\tan\alpha\leq\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$\frac{2\pi}{3}＜\alpha＜\pi$或$0\leq\alpha\leq\frac{\pi}{6}$，所以直线倾斜角的取值范围是$[0,\frac{\pi}{6}]\cup(\frac{2\pi}{3},\pi)$.

13. 已知$A\left(1, -\frac{a + 1}{3}\right)$，$B\left(0, -\frac{1}{3}\right)$，$C(2 - 2a, 1)$，$D(-a, 0)$四点，若直线$AB$与直线$CD$平行，则$a =$3.

答案： 13.3 解析 $k_{AB}=\frac{-\frac{1}{3} + 1}{0 - 1}=-\frac{a}{3}$.
(1)当$2 - 2a = -a$即$a = 2$时，$k_{AB}=-\frac{2}{3}$，而$CD$的斜率不存在，则$AB$和$CD$不平行；
(2)若$a\neq2$，$k_{CD}=\frac{0 - 1}{-a - 2 + 2a}=\frac{1}{2 - a}$.由$k_{AB}=k_{CD}$，得$-\frac{a}{3}=\frac{1}{2 - a}$，所以$a = 3$或$a = -1$.当$a = 3$时，$k_{AB}=-1$，$k_{BD}=\frac{0 + \frac{1}{3}}{-3}=-\frac{1}{9}\neq k_{AB}$，所以$AB$与$CD$平行.当$a = -1$时，$k_{AB}=\frac{1}{3}$，$k_{BC}=\frac{1}{3}$，$k_{CD}=\frac{1 - 0}{4 - 1)=\frac{1}{3}$，所以$AB$与$CD$重合.综上：当$a = 3$时，直线$AB$和直线$CD$平行.

14. 一束光射向$x$轴，与$x$轴相交于点$P(-1, 0)$，经$x$轴反射，与连接$A(0, \sqrt{3})$，$B(1, 2)$两点的线段总有公共点，这束光所在直线的斜率取值范围为$[-\sqrt{3},-1]$.

答案：
14.$[-\sqrt{3},-1]$ 解析 由斜率公式，射线$PA$的斜率为$k_{PA}=\frac{\sqrt{3} - 0}{0 + 1}=\sqrt{3}$，射线$PB$的斜率为$k_{PB}=\frac{2 - 0}{1 + 1}=1$，

如上图所示，由题意，一束光射向$x$轴，经$x$轴反射，与线段$AB$始终相交，则射线$PA$即$l_3$与$l_2$关于$x = -1$对称，射线$PB$即$l_4$与$l_1$关于$x = -1$对称，所以$k_{l_3}=-1$，$k_{l_4}=-\sqrt{3}$，所以这束光所在直线的斜率取值范围为$[-\sqrt{3},-1]$.故答案为：$[-\sqrt{3},-1]$.

15. 已知在矩形$ABCD$中，$A(-4, 4)$，$D(5, 7)$，其对角线的交点$E$在第一象限内且到$y$轴的距离为$1$，动点$P(x, y)$沿矩形的一边$BC$运动，则$\frac{y}{x}$的取值范围是$(-\infty,-\frac{1}{3}]\cup[\frac{2}{3},+\infty)$.

答案：
15.$(-\infty,-\frac{1}{3}]\cup[\frac{2}{3},+\infty)$ 解析 如下图所示，设$E(1,a)$.

因为点$E$是线段$AC$的中点，所以$\begin{cases}1=\frac{-4 + x_C}{2}\\a=\frac{4 + y_C}{2}\end{cases}$，则$C(6,2a - 4)$.因为$AD\perp DC$，所以$\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{DC}=(9,3)·(1,2a - 11)=9 + 3(2a - 11)=0$，解得$a = 4$，所以$C(6,4)$.因为$ABCD$为矩形，所以$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，即$(x_B + 4,y_B - 4)=(6 - 5,4 - 7)=(1,-3)$，所以$\begin{cases}x_B=-3\\y_B=1\end{cases}$，所以$B$点坐标为$(-3,1)$，因为点$P$在边$BC$上运动，所以$\frac{y}{x}=k_{OP}$，由题图可知，$k_{OP}\geq k_{OC}$或$k_{OP}\leq k_{OB}$，则$\frac{y}{x}\geq k_{OC}=\frac{2}{3}$或$\frac{y}{x}\leq k_{OB}=-\frac{1}{3}$.故答案为：$(-\infty,-\frac{1}{3}]\cup[\frac{2}{3},+\infty)$.