《2025年更高更妙的高中数学思想与方法高中数学选择性必修第一册》

1.设抛物线y²=2px(p＞0)的焦点为F,
P(a,2)为抛物线上一点,若|PF|=2,则p (C)

A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.2
D.$\frac{5}{2}$

答案： 1.C　解析　由题意，代入点$P$可得$2^2=2pa\Rightarrow a=\frac{2}{p}$，准线方程为$x=-\frac{p}{2}$，故$|PF|=\frac{p}{2}+\frac{2}{p}=2$，解得$p=2$.

2.已知F是抛物线y²=4x的焦点,A,B是
该抛物线上的两点，|AF|十|BF|=6,则
线段AB的中点到y轴的距离为 (C)

A.$\frac{3}{2}$
B.1
C.2
D.$\frac{5}{2}$

答案： 2.C　解析　因为$F$是抛物线$y^2=4x$的焦点，所以$F(1,0)$，准线方程$x=-1$，设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，所以$|AF|+|BF|=x_1+1+x_2+1=6$，所以$x_1+x_2=4$，所以线段$AB$的中点横坐标为$2$，所以线段$AB$的中点到$y$轴的距离为$2$.

3.以坐标轴为对称轴,焦点在直线3x−4y一
12=0上的抛物线的标准方程为 (C)

A.x²=16y或y²=16x
B.y²=16x或x²=12y
C.x²=−12y或y²=16x
D.x²=16y或y²=−12x

答案： 3.C　解析　直线$3x - 4y - 12 = 0$与两坐标轴的交点分别为$(4,0)$，$(0,-3)$，所以抛物线的焦点坐标为$(4,0)$，$(0,-3)$，故抛物线的标准方程$x^2=-12y$或$y^2=16x$.

4.设F为抛物线y²=6x的焦点,A,B,C为
该抛物线上三点.若FA+FB+FC=0,则
|FA|+|FB|+|FC|= (C)

A.4
B.6
C.9
D.12

答案： 4.C　解析　设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$，又$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=0$，所以点$F$是$\triangle ABC$的重心，所以$x_1+x_2+x_3=\frac{9}{2}$.由抛物线的定义可得：$|\overrightarrow{FA}|+|\overrightarrow{FB}|+|\overrightarrow{FC}|=x_1+\frac{3}{2}+x_2+\frac{3}{2}+x_3+\frac{3}{2}=9$.

5.如下图所示，设抛物线y²=4x的焦点为
F,不经过焦点的直线上有三个不同的点
A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在
y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是
(A)


A.$\frac{|BF|−1}{|AF|−1}$
B.$\frac{|BF|²−1}{|AF|²−1}$
C.$\frac{|BF|+1}{|AF|+1}$
D.$\frac{|BF|²+1}{|AF|²+1}$

答案： 5.A　解析　$\frac{S_{\triangle BCF}}{S_{\triangle ACF}}=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{|x_B|}{|x_A|}=\frac{|BF|-1}{|AF|-1}$.

6.已知抛物线C:y²=2px(p＞0),焦点为F,
过抛物线C上一点P作其准线L的垂线，
垂足为点Q,如下图所示.若△PQF为正
三角形,且S△PFQ=4√3,则抛物线C的方
程为(A)


A.y²=4x
B.y²=4x或y²=12x
C.y²=12x
D.y²=2x或y²=6x

答案： 6.A　解析　由$S_{\triangle PFQ}=4\sqrt{3}$，易求$|PF|=4$，由抛物线的对称性，不妨令点$P$在第一象限，设$P(x_0,y_0)(x_0\gt0,y_0\gt0)$，过点$P$作$x$轴的垂线，垂足为$A$，则$\triangle PFA$为$\angle FPA = 30^{\circ}$的直角三角形，则$x_0-\frac{p}{2}=2$，$y_0=2\sqrt{3}$.又点$P$在抛物线$C$上，所以$x_0=\frac{6}{p}$，故$2+\frac{p}{2}=\frac{6}{p}$，解得$p = 2$（负值舍去）.所以抛物线$C$的方程为$y^2=4x$.

7.已知抛物线C:y²=2px(p＞0)过点
(1,−2),经过焦点F的直线I与抛物线C
交于A,B两点,A在x轴的上方,有点Q
(−1,0),若以QF为直径的圆经过点B,则
|AF|−|BF|= (D)

A.2√3
B.2√5
C.2
D.4

答案：
7.D　解析　将$(1,-2)$代入抛物线$C$的方程中，可得$4 = 2p$，即$p = 2$.抛物线$C$的方程为$y^2=4x$，$F(1,0)$.如下图所示，设直线$l$的倾斜角为$\alpha$，则$|AF|=|AF|\cos\alpha+|QF|=|AF|\cos\alpha+2$，所以$|AF|=\frac{2}{1 - \cos\alpha}$，同理$|BF|=\frac{2}{1 + \cos\alpha}$，所以$|AF|-|BF|=\frac{2}{1 - \cos\alpha}-\frac{2}{1 + \cos\alpha}=\frac{4\cos\alpha}{1 - \cos^2\alpha}$.因为以$QF$为直径的圆经过点$B$，所以$BQ\perp BF$，所以$|BF|=\frac{2}{1 + \cos\alpha}=2\cos\alpha$，即$\cos\alpha=1 - \cos^2\alpha$，所以$|AF|-|BF|=\frac{4\cos\alpha}{1 - \cos^2\alpha}=4$.

8.已知点A是抛物线x²=4y的对称轴与准
线的交点，点F为抛物线的焦点，点P在
抛物线上且满足|PA|=m|PF|,若m取
最大值时，点P恰好在以A,F为焦点的椭
圆上,则椭圆的离心率为 (B)

A.$\sqrt{3}$−1
B.$\sqrt{2}$−1
C.$\frac{\sqrt{5}−1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}−1}{2}$

答案：
8.B　解析　如下图所示，过点$P$作$PB\perp$准线于点$B$. 由抛物线定义可知：$|PF|=|PB|$，$m=\frac{|PA|}{|PF|}=\frac{|PA|}{|PB|}=\frac{1}{\sin\angle PAB}$，要使$m$最大，则$\angle PAB$需要达到最小，即当$PA$与抛物线相切时，此时$\angle PAB$达到最小，设直线$PA:y = kx - 1$，$\begin{cases}y = kx - 1\\x^2 = 4y\end{cases}\Rightarrow x^2 - 4kx + 4 = 0$，$\Delta = 0\Rightarrow k = \pm1$，此时$P(2,1)$或$P(-2,1)$，$2a = |PA| + |PF| = 2\sqrt{2}+2$，$2c = |AF| = 2$，$e=\frac{2c}{2a}=\frac{2}{2\sqrt{2}+2}=\sqrt{2}-1$.