《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教B版》

1. (多选)[2022·河北石家庄高二期末]下列说法正确的是 (ACD)

A.甲、乙、丙、丁 4 人站成一排，甲不在最左端，则共有 $ C_{3}^{1}A_{3}^{3} $ 种排法
B.3 名男生和 4 名女生站成一排，则 3 名男生相邻的排法共有 $ A_{4}^{4}A_{3}^{3} $ 种
C.3 名男生和 4 名女生站成一排，则 3 名男生互不相邻的排法共有 $ A_{4}^{4}A_{5}^{3} $ 种
D.3 名男生和 4 名女生站成一排，3 名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有 1 296 种

答案： 1. ACD 【解析】对于A，先排甲再排剩下的3人，共有$\mathrm{C}_{4}^{1}\mathrm{A}_{3}^{3}$种排法，故A正确。对于B，3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有$\mathrm{A}_{3}^{3}\mathrm{A}_{5}^{5}$种，故B错误。对于C，先排女生再把男生插空，共有$\mathrm{A}_{4}^{4}\mathrm{A}_{5}^{3}$种排法，故C正确。对于D，由C选项知3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法有$\mathrm{A}_{4}^{4}\mathrm{A}_{5}^{3}$种。当最左端是女生甲且男生互不相邻时，有$\mathrm{A}_{3}^{3}\mathrm{A}_{4}^{3}$种排法，所以3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有$\mathrm{A}_{4}^{4}\mathrm{A}_{5}^{3}-\mathrm{A}_{3}^{3}\mathrm{A}_{4}^{3}=1296$（种），故D正确。选ACD。

2. 中国的“五岳”是指在中国境内的五座名山：东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山，分别坐落于东、西、南、北、中五个方位. 郭靖同学决定利用今年寒假的时间，游览以下五座名山：嵩山、泰山、华山、黄山、庐山. 若他首先游览黄山，且属于“五岳”的名山游览顺序必须相邻，则郭靖同学游览这五座名山的顺序共有12 种. (用数字作答)

答案： 2. 12 【解析】他首先游览黄山，且属于“五岳”的名山游览顺序必须相邻，则郭靖同学游览这五座名山的顺序分为两类：第一类，游览完黄山，第二游览庐山，接下来游览“五岳”名山中的嵩山、泰山、华山，有$\mathrm{A}_{3}^{3}$种不同的游览顺序；第二类，游览完黄山，游览“五岳”名山中的嵩山、泰山、华山，有$\mathrm{A}_{3}^{3}$种不同的游览顺序，最后游览庐山。综上可知，共有$\mathrm{A}_{3}^{3}+\mathrm{A}_{3}^{3}=12$（种）不同的游览顺序。

3. 有 5 对夫妇和 A，B 共 12 人参加一场婚宴，他们被安排在一张有 12 个座位的圆桌上就餐(旋转之后算相同坐法).
(1)若 5 对夫妇都相邻而坐，A，B 相邻而坐，共有多少种坐法?
(2)5 对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，A，B 不相邻，共有多少种坐法?

答案： 3. 【解】
(1)若5对夫妇都相邻，A，B相邻，可将每对夫妇划分为1组，A，B划分为1组，再将这6组人围坐成一圈，共有$\mathrm{A}_{5}^{5}$种坐法。由于每1组内的2人还有顺序问题，所以共有$\mathrm{A}_{5}^{5}×2^{6}=7680$（种）坐法。
(2)分成三步来完成。
第一步，排甲、乙二人的太太的座位，有2种坐法，甲、乙二人的座位也随之确定；
第二步，排其余3对夫妇的座位，有$2^{3}\mathrm{A}_{3}^{3}$种坐法；
第三步，排A，B二人的座位，有$\mathrm{A}_{4}^{2}$种坐法。
根据分步乘法计数原理，共有$2×2^{3}\mathrm{A}_{3}^{3}×\mathrm{A}_{4}^{2}=1152$（种）坐法。

4. 2022 年 6 月 17 日，我国第三艘航母“福建舰”正式下水. 现要给“福建舰”进行航母编队配置科学试验，要求 2 艘攻击型核潜艇一前一后，3 艘驱逐舰和 3 艘护卫舰分列左右，每侧 3 艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的种数为 (D)

A.72
B.324
C.648
D.1 296

答案： 4. D 【解析】由题意，2艘攻击型核潜艇一前一后，分配方案有$\mathrm{A}_{2}^{2}=2$（种），3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，任意分配有$\mathrm{A}_{6}^{6}=720$（种）方法，同侧的是同种舰艇的分配方案有$2\mathrm{A}_{3}^{3}\mathrm{A}_{3}^{3}=72$（种），所以符合题意要求的舰艇分配方案的种数为$2×(720 - 72)=1296$。故选D。

5. (多选)[2022·辽宁沈阳高二期中]现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机 4 项工作可以安排，则以下说法正确的是 (AD)

A.若每人都安排 1 项工作，则不同安排方案的种数为 $ 4^{5}=1024 $
B.若每项工作至少有 1 人参加，则不同安排方案的种数为 $ A_{5}^{4}C_{4}^{1}=480 $
C.若司机工作不安排，其余 3 项工作至少安排 1 人，则这 5 名同学全部被安排的不同方案种数为 $ (C_{5}^{3}C_{2}^{1}+C_{5}^{2}C_{3}^{2})A_{3}^{3}=300 $
D.每项工作至少有 1 人参加，甲、乙不会开车但能从事其他 3 项工作，丙、丁、戊都能胜任 4 项工作，则不同安排方案的种数是 $ C_{3}^{1}C_{4}^{2}A_{3}^{3}+C_{3}^{2}A_{3}^{3}=126 $

答案： 5. AD 【解析】对于A，给其中的1人安排1项工作，有4种不同的安排方法。若每人都安排1项工作，则不同安排方案的种数为$4^{5}=1024$，故A正确。对于B，每项工作至少有1人参加，先从5人中选2人作为1组，再与另外3人共4组，每组选1项工作，则不同安排方案的种数为$\mathrm{C}_{5}^{2}\mathrm{A}_{4}^{4}=240$，故B错误。对于C，先将5名同学分为3组，然后再分别安排翻译、导游、礼仪3项工作，则这5名同学全部被安排的不同方案种数为$\left(\frac{\mathrm{C}_{5}^{2}\mathrm{C}_{3}^{2}}{\mathrm{A}_{2}^{2}}+\frac{\mathrm{C}_{5}^{1}\mathrm{C}_{4}^{1}}{\mathrm{A}_{2}^{2}}\right)\mathrm{A}_{3}^{3}=150$，故C错误。对于D，当从丙、丁、戊3人中选2人开车时，不同安排方案的种数是$\mathrm{C}_{3}^{2}\mathrm{A}_{4}^{3}$；当从丙、丁、戊3人中选1人开车时，不同安排方案的种数是$\mathrm{C}_{3}^{1}\mathrm{C}_{4}^{2}\mathrm{A}_{3}^{3}$。所以不同安排方案的种数共是$\mathrm{C}_{3}^{1}\mathrm{C}_{4}^{2}\mathrm{A}_{3}^{3}+\mathrm{C}_{3}^{2}\mathrm{A}_{4}^{3}=126$，故D正确。选AD。

6. [2023·辽宁大连高二期中]现将 5 名志愿者全部分派到 A，B，C 三个居民小区参加普法知识宣传，要求每个小区至少分派 1 人，并且志愿者甲必须安排到 A 小区，则不同的安排方法种数为50. (用数字作答)

答案： 6. 50 【解析】由题意知，5名志愿者可有$\{3,1,1\}$，$\{2,2,1\}$两种分组方式。对于$\{3,1,1\}$分组方式，若甲1人成组安排到A小区，则其他4人选出3人为一组，与剩余的1人成组安排到B，C小区，所以共有$\mathrm{C}_{4}^{3}\mathrm{A}_{2}^{2}=8$（种）安排方案；若甲在3人组，4人中选出2人与甲组成3人组安排到A小区，剩余2人每个人为一组安排到B，C小区，所以共有$\mathrm{C}_{4}^{2}\mathrm{A}_{2}^{2}=12$（种）安排方案。对于$\{2,2,1\}$分组方式，若甲1人成组安排到A小区，则其他4人两两成组安排到B，C小区，所以共有$\frac{\mathrm{C}_{4}^{2}\mathrm{C}_{2}^{2}}{\mathrm{A}_{2}^{2}}·\mathrm{A}_{2}^{2}=6$（种）安排方案；若甲在2人组，4人中选出1人与甲成2人组安排到A小区，从剩余3人中选2人成组，与剩余的1人成组安排到B，C小区，所以共有$\mathrm{C}_{4}^{1}\mathrm{C}_{3}^{2}\mathrm{A}_{2}^{2}=24$（种）安排方案。综上，共有$8 + 12 + 6 + 24 = 50$（种）安排方案。

7. 有标号分别为 1，2，3，4，5，6 的 6 个小球和标号分别为 1，2，3，4 的 4 个盒子.
(1)从 6 个小球中选出 4 个放入 4 个盒中，每个盒子只放 1 个小球.
①求奇数号盒只放奇数号小球的不同放法种数；
②求奇数号小球必须放在奇数号盒中的不同放法种数.
(2)若不许空盒且将 6 个小球都放入 4 个盒中，求所有不同的放法种数.

答案： 7. 【解】
(1)①因为奇数号盒只放奇数号小球，每个盒子只放1个小球，所以先从3个奇数号小球中任取2个放入奇数号盒中，有$\mathrm{A}_{3}^{2}=6$（种）放法；
再将剩余的4个小球中的2个放入余下的2个盒中，有$\mathrm{A}_{4}^{2}=12$（种）放法。
所以不同的放法种数为$6×12 = 72$。
②因为奇数号小球必须放在奇数号盒中，每盒只放1个小球，所以分两类：
第一类，取1个奇数号小球和3个偶数号小球放入盒中，共有$\mathrm{C}_{3}^{1}\mathrm{C}_{3}^{1}\mathrm{A}_{3}^{3}=36$（种）放法；
第二类，取2个奇数号小球和2个偶数号小球放入盒中，共有$\mathrm{C}_{3}^{2}\mathrm{C}_{3}^{2}\mathrm{A}_{3}^{2}\mathrm{A}_{2}^{2}=36$（种）放法。
所以不同的放法种数为$36 + 36 = 72$。
(2)由于不许空盒且将6个小球都放入盒中，
所以考虑对6个小球先进行分组再放入盒中，分两类：
第一类，将6个小球分成1，1，2，2，共4组的不同分法种数为$\frac{\mathrm{C}_{6}^{2}\mathrm{C}_{4}^{2}}{\mathrm{A}_{2}^{2}}$，
再放入4个盒中，有$\mathrm{A}_{4}^{4}$种放法；
第二类，将6个小球分成1，1，1，3，共4组的不同分法种数为$\mathrm{C}_{6}^{3}$，再放入4个盒中，有$\mathrm{A}_{4}^{4}$种放法。
所以所有不同的放法种数为$\frac{\mathrm{C}_{6}^{2}\mathrm{C}_{4}^{2}}{\mathrm{A}_{2}^{2}}×\mathrm{A}_{4}^{4}+\mathrm{C}_{6}^{3}\mathrm{A}_{4}^{4}=1560$。