《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教B版》

6. (多选)[2023·云南红河高三一模]某校高三一名数学教师从该校高三学生中随机抽取男、女生各 50 名进行了身高统计，得到男、女身高分别近似服从参数为 $173$，$11$ 的正态分布和参数为 $164$，$9$ 的正态分布，并对其是否喜欢体育锻炼进行数据统计，得到如下 $2×2$ 列联表.

则下列说法正确的是(ABCD)

A.$m = 13$，$n = 18$
B.男生身高的平均数约为 $173$，女生身高的平均数约为 $164$
C.男生身高的标准差约为 $11$，女生身高的标准差约为 $9$
D.依据 $\alpha = 0.01$ 的独立性检验，认为喜欢体育锻炼与性别有关联

答案： 6. ABCD 【解析】对于 A，因为$37 + m = 50$，$n + 32 = 50$，所以$m = 13$，$n = 18$，A 正确。对于 B，在正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$中，$\mu$为平均数，所以男生身高的平均数约为$173$，女生身高的平均数约为$164$，B 正确。对于 C，在服从参数为$\mu$与$\sigma$的正态分布中，$\sigma^{2}$为方差，$\sigma$为标准差，男生身高的标准差约为$11$，女生身高的标准差约为$9$，C 正确。对于 D，$\chi^{2}=\frac{100×(37×32 - 13×18)^{2}}{50×50×55×45}=14.586 ＞ 6.635$，依据$\alpha = 0.01$的独立性检验，认为喜欢体育锻炼与性别有关联，D 正确。故选 ABCD。

7. [2023·上海崇明中学高三模拟]在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中，下列说法正确的是(B)
①若 $\chi^{2}$ 的观测值满足 $\chi^{2}\geq6.635$，则我们有 $99\%$ 的把握认为吸烟与患肺病有关系；
②若 $\chi^{2}$ 的观测值满足 $\chi^{2}\geq6.635$，则在 $100$ 个吸烟的人中约有 $99$ 人患有肺病；
③从独立性检验可知，如果有 $99\%$ 的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么我们就认为每个吸烟的人有 $99\%$ 的可能性会患肺病；
④从统计量中得知有 $99\%$ 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有 $1\%$ 的可能性使推断出现错误.

A.①
B.①④
C.②③
D.①②③④

答案： 7. B 【解析】若$\chi^{2}$的观测值满足$\chi^{2}\geq6.635$，则我们有$99\%$的把握认为吸烟与患肺病有关系，而得知有$99\%$的把握认为吸烟与患肺病有关系时，仍有$1\%$的可能性使推断出现错误，但不能说明在$100$个吸烟的人中约有$99$人患有肺病，及每个吸烟的人有$99\%$的可能性会患肺病。故①④正确，②③错误。选 B。
易错规避 当$\chi^{2}\geq k_{0}$时，有$P(\chi^{2}\geq k_{0})$的把握说变量$X$，$Y$有关系，或者说在犯错误的概率不超过$1 - P(\chi^{2}\geq k_{0})$的前提下认为变量$X$，$Y$有关系。若$\chi^{2}\geq6.635$，只能说明，有$99\%$的把握认为吸烟与患肺病有关，但不能说明$100$个吸烟中约$99$人患肺病，也不能说明吸烟的人有$99\%$的可能患肺病。

8. [2023·河南南阳高二期中]已知两个分类变量 $X$，$Y$ 的可能取值分别为 $\{x_{1},x_{2}\}$ 和 $\{y_{1},y_{2}\}$，通过随机调查得到样本数据，再整理成如下的 $2×2$ 列联表，其中 $a ＜ b$，当判断 $X$ 与 $Y$ 有关系的把握最小时，$a$ 的值为(C)


A.$5$
B.$10$
C.$15$
D.$17$

答案： 8. C 【解析】在两个分类变量的列联表中，当$\vert ad - bc\vert$的值越小时，两个分类变量有关的可能性越小。令$\vert ad - bc\vert = 0$，得$ab = 10×30 = 300$。$\because$样本容量为$75$，$\therefore a + b + 40 = 75$，则$b = 35 - a$，$\therefore ab = a(35 - a)=300$，化简得$a^{2}-35a + 300 = 0$，解得$a_{1}=15$，$a_{2}=20$。又$\because a ＜ b$，$\therefore a = 15$。故选 C。

9. [2023·上海杨浦高级中学高三开学考试]北京冬奥会的举办掀起了一阵冰雪运动的热潮. 某高校在本校学生中对“喜欢滑冰是否与性别有关”做了一次调查，参与调查的学生中，男生人数是女生人数的 $3$ 倍，有 $\frac{2}{3}$ 的男生喜欢滑冰，有 $\frac{1}{3}$ 的女生喜欢滑冰. 若根据独立性检验的方法，有 $95\%$ 的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，则参与调查的男生人数可能为(C)

A.$12$
B.$18$
C.$36$
D.$48$

答案：
9. C 思维路径 设男生人数为$3x$→女生人数为$x$→写出列联表→根据卡方计算公式确定$x$的取值范围→确定男生可能人数。
【解析】设男生人数为$3x$，则女生人数为$x$（当只知道比例关系，不知具体数据时，设参数，最后都会消掉），且$x\in\mathbf{N}_{+}$，可得$2×2$列联表如下：

所以$\chi^{2}=\frac{4x\left(2x·\frac{2x}{3}-\frac{x}{3}· x\right)^{2}}{\frac{7x}{3}·\frac{5x}{3}·3x· x}=\frac{12x}{35}$。因为有$95\%$的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，所以$\frac{12x}{35}\in[3.841,5.024)$，解得$11.20\leq x ＜ 14.65$，所以$33.60\leq3x ＜ 43.95$，结合选项只有$36\in[33.60,43.95)$。故选 C。

10. [2023·江西景德镇一中高二期中]为了判断某高中学生选科与性别的关系，现随机抽取 $50$ 名学生，得到如下的 $2×2$ 列联表. 已知 $P(\chi^{2}\geq3.841)\approx0.05$，$P(\chi^{2}\geq6.635)\approx0.01$，则认为选科与性别有关系出错的概率约为0.05.

答案： 10. 0.05 【解析】因为$\chi^{2}=\frac{50×(13×20 - 10×7)^{2}}{20×30×23×27}\approx4.844$，且$P(\chi^{2}\geq3.841)\approx0.05$，所以认为选科与性别有关系出错的概率约为$0.05$。