《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教B版》

1. [2023·浙江杭州第二中学高三开学考试]设 $ P(A|B)=P(B|A)=\frac{1}{2},P(A)=\frac{1}{3} $，则 $ P(B) $ 等于(B)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$

答案： 1. B 【解析】$\because P(AB)=P(A)P(B|A)=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，且$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$，$\therefore P(B)=\frac{P(AB)}{P(A|B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$。故选 B。
方法总结 乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的求法，即当直接计算$P(AB)$不好计算时，可先求出$P(A)$及$P(B|A)$或先求出$P(B)$及$P(A|B)$，再利用乘法公式$P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)$求解即可。

2. [2022·上海行知中学高二期末]已知 $ P(A|B)=P(B|A)=\frac{1}{2},P(\overline{A})=\frac{3}{4} $，则 $ P(B)= $$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$。

答案： 2. $\frac{1}{4}$ 【解析】由题意得$P(A)=1-P(\overline{A})=\frac{1}{4}$，而$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{1}{2}$，所以$P(AB)=\frac{1}{8}$，所以$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{1}{2}$，解得$P(B)=\frac{1}{4}$。

3. 某人连续两次对同一目标进行射击，若第一次击中目标，则第二次也击中目标的概率为 0.7；若第一次未击中目标，则第二次击中目标的概率为 0.5. 已知第一次击中目标的概率为 0.8，则在第二次击中目标的条件下，第一次也击中目标的概率为(C)

A.$\frac{14}{25}$
B.$\frac{14}{33}$
C.$\frac{28}{33}$
D.$\frac{25}{39}$

答案： 3. C 【解析】设第一次击中目标为事件$A$，第二次击中目标为事件$B$，则$P(B|A)=0.7$，$P(B|\overline{A})=0.5$，$P(A)=0.8$，所以$P(\overline{A})=0.2$，故$P(B)=P(A)· P(B|A)+P(\overline{A})· P(B|\overline{A})=0.8×0.7 + 0.2×0.5 = 0.66$，则$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(A)· P(B|A)}{0.66}=\frac{0.8×0.7}{0.66}=\frac{28}{33}$。故选 C。
方法总结 利用全概率公式解题时，需找出条件事件里的某一个完备事件组，并命名为$A_i(i = 1,2,·s,n)$，命名目标的概率事件为事件$B$，代入全概率公式求解$P(B)=P(A_1B)+P(A_2B)+·s+P(A_nB)=P(A_1)· P(B|A_1)+P(A_2)· P(B|A_2)+·s+P(A_n)· P(B|A_n)$。

4. [2023·江西赣州高二期末]甲箱中有 4 个红球、3 个白球和 3 个黑球，乙箱中有 5 个红球、3 个白球和 2 个黑球. 先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是红球的概率为(D)

A.$\frac{5}{11}$
B.$\frac{9}{10}$
C.$\frac{12}{55}$
D.$\frac{27}{55}$

答案： 4. D 【解析】依题意，从乙箱中取出的是红球的概率$p=\frac{4}{10}×\frac{6}{11}+\frac{6}{10}×\frac{5}{11}=\frac{27}{55}$。故选 D。

5. [2023·上海松江二中高二期末]盒中有 $ a $ 个红球、$ b $ 个黑球，今从中随机地取出一个，观察其颜色后放回，并加入同色球 $ c $ 个，再从盒中取出一球，则第二次取出的是红球的概率是(B)

A.$\frac{a}{a + b + c}$
B.$\frac{a}{a + b}$
C.$\frac{a}{a + c}$
D.$\frac{a + c}{a + b + c}$

答案： 5. B 【解析】设$A$表示“第一次抽出的是红球”，$B$表示“第二次抽出的是红球”，则$B = AB + \overline{A}B$。由全概率公式得$P(B)=P(A)· P(B|A)+P(\overline{A})· P(B|\overline{A})$。又$P(A)=\frac{a}{a + b}$，$P(B|A)=\frac{a + c}{a + b + c}$，$P(\overline{A})=\frac{b}{a + b}$，$P(B|\overline{A})=\frac{a}{a + b + c}$，所以$P(B)=\frac{a(a + c)}{(a + b)(a + b + c)}+\frac{ab}{(a + b)(a + b + c)}=\frac{a}{a + b}$。故选 B。

6. [2023·江西上饶高二期末]某一地区患有癌症的人占该地区总人数的 0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为 0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为 0.02. 现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为(A)

A.0.16
B.0.32
C.0.42
D.0.84

答案： 6. A 【解析】此人是癌症患者的概率$p=\frac{0.004×0.95}{0.004×0.95 + 0.996×0.02}\approx0.16$。故选 A。

7. [2023·广东深圳高三期末]某批产品来自 $ A,B $ 两条生产线，$ A $ 生产线占 60%，次品率为 4%；$ B $ 生产线占 40%，次品率为 5%. 现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自 $ A $ 生产线的概率是(B)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{6}{11}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{5}{9}$

答案： 7. B 【解析】（破题关键：注意将题中条件转化为符号语言）因为抽到的次品可能来自$A$，$B$两条生产线，设$A$表示“抽到的产品来自$A$生产线”，$B$表示“抽到的产品来自$B$生产线”，$C$表示“抽到的一件产品是次品”，则$P(A)=0.6$，$P(B)=0.4$，$P(C|A)=0.04$，$P(C|B)=0.05$。由全概率公式得$P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.6×0.04 + 0.4×0.05 = 0.044$，所以它来自$A$生产线的概率$P(A|C)=\frac{P(AC)}{P(C)}=\frac{P(A)P(C|A)}{P(C)}=\frac{0.6×0.04}{0.044}=\frac{6}{11}$。故选 B。
方法总结 贝叶斯公式针对的是某一个过程中已知结果发生求事件过程的某个条件成立的概率，需找出条件事件里的某一个完备事件组，并命名为$A_i(i = 1,2,·s,n)$，命名目标的概率事件为事件$C$，代入贝叶斯公式求解$P(A_1|C)=\frac{P(A_1C)}{P(C)}=\frac{P(A_1)P(C|A_1)}{\sum_{i = 1}^{n}P(A_i)P(C|A_i)}$。

8. [2023·广东广州七中高三月考]书架上放有 2 本语文书和 3 本数学书，学生甲先随机取走 2 本书，学生乙再在剩下的书中随机取走 1 本书. 已知甲至少取走了 1 本数学书，则乙取走语文书的概率为$\boldsymbol{\frac{4}{9}}$。

答案： 8. $\frac{4}{9}$ 【解析】记2本语文书分别为$a$，$b$，3本数学书分别为1，2，3，则甲至少取走了1本数学书包含：$(a,1)$，$(a,2)$，$(a,3)$，$(b,1)$，$(b,2)$，$(b,3)$，$(1,2)$，$(2,3)$，$(1,3)$，共9个基本事件。设“甲至少取走了1本数学书的情况下，甲共取走$i(i = 1,2)$本数学书”为事件$A_i$，“乙取走语文书”为事件$B$，则事件$A_1$包含$(a,1)$，$(a,2)$，$(a,3)$，$(b,1)$，$(b,2)$，$(b,3)$，共6个基本事件，故$P(A_1)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，$P(B|A_1)=\frac{1}{3}$，同理可得$P(A_2)=\frac{1}{3}$，$P(B|A_2)=\frac{2}{3}$，则$P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)=\frac{2}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$。
易错规避 利用全概率公式求解时，一定要弄清楚样本空间一共分成了哪几部分，通俗来说，即所求事件$B$的概率受哪些因素的影响。

9. 某足球协会统计了在一场比赛中甲担任主教练时，在上半场、下半场与加时赛用完 3 个换人名额(每支球队在比赛中只有 3 个换人名额)的概率分别为 0.4，0.5，0.1，相应该球队输的概率分别为 0.6，0.2，0.2. 若在某场比赛中甲担任主教练，且该场比赛进行了加时赛，则在该球队输的条件下，甲在下半场用完换人名额的概率为$\boldsymbol{\frac{5}{18}}$。

答案： 9. $\frac{5}{18}$ 【解析】设事件$A_1$表示“甲在上半场用完换人名额”，事件$A_2$表示“甲在下半场用完换人名额”，事件$A_3$表示“甲在加时赛用完换人名额”，事件$B$表示“该球队输”，则$P(A_1)=0.4$，$P(A_2)=0.5$，$P(A_3)=0.1$，$P(B|A_1)=0.6$，$P(B|A_2)=0.2$，$P(B|A_3)=0.2$，所以$P(B)=P(A_1)· P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3)=0.4×0.6 + 0.5×0.2 + 0.1×0.2 = 0.36$。所以所求概率$P(A_2|B)=\frac{P(A_2B)}{P(B)}=\frac{0.5×0.2}{0.36}=\frac{5}{18}$。
易错规避 贝叶斯公式其实是用来求条件概率的，所以要弄清条件是什么，先利用全概率公式求出事件发生的条件的概率，再利用条件概率的公式求解。