《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教B版》

1. [2023·山东聊城高三模拟]某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设 $ M $ 表示“该家庭中既有男孩，又有女孩”，$ N $ 表示“该家庭中最多有一个女孩”，则下列结论错误的是(A)
A.若该家庭中有两个小孩，则 $ M $ 与 $ N $ 互斥
B.若该家庭中有两个小孩，则 $ M $ 与 $ N $ 不相互独立
C.若该家庭中有三个小孩，则 $ M $ 与 $ N $ 不互斥
D.若该家庭中有三个小孩，则 $ M $ 与 $ N $ 相互独立

答案： 1. A 【解析】若该家庭中有两个小孩，样本空间$\varOmega=\{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)\}$，$M=\{(男,女),(女,男)\}$，$N=\{(男,男),(男,女),(女,男)\}$，所以$MN=\{(男,女),(女,男)\}$，则$M$与$N$不互斥，且$P(M)=\frac{1}{2}$，$P(N)=\frac{3}{4}$，$P(MN)=\frac{1}{2}$。因为$P(MN)\neq P(M)P(N)$，所以$M$与$N$不相互独立，故A错误，B正确。若该家庭中有三个小孩，样本空间$\varOmega=\{(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)\}$，$M=\{(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男)\}$，$N=\{(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男)\}$，所以$MN=\{(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男)\}$，则$M$与$N$不互斥，且$P(M)=\frac{3}{4}$，$P(N)=\frac{1}{2}$，$P(MN)=\frac{3}{8}$。因为$P(MN)=P(M)P(N)$，所以$M$与$N$相互独立，则C，D均正确。故选A。
方法总结 两个事件是否相互独立的判断方法
(1)直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件发生是否相互影响。
(2)定义法：若$P(AB)=P(A)P(B)$，则事件$A,B$为相互独立事件。
(3)条件概率法：当$P(A)＞0$时，可用$P(B|A)=P(B)$判定。

2. [2023·江苏连云港锦屏高级中学高二期中]已知 $ \overline{A},\overline{B} $ 分别为随机事件 $ A,B $ 的对立事件，则下列结论错误的是(C)
A.$ P(A)+P(\overline{A}) = 1 $
B.若 $ P(AB) = P(A)P(B) $，则 $ A,B $ 相互独立
C.若 $ A,B $ 相互独立，则 $ P(A|B) = P(B) $
D.$ P(A|B)+P(\overline{A}|B) = 1 $

答案： 2. C 【解析】A选项，根据对立事件的定义可知$P(A)+P(\overline{A})=1$（若$A,\overline{A}$对立，则其概率之和为1），A选项正确。B选项，根据独立事件的定义可知，若$P(AB)=P(A)P(B)$，则$A,B$相互独立，B选项正确。C选项，若$A,B$相互独立，则$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(A)P(B)}{P(B)}=P(A)$，C选项错误。D选项，$P(A|B)$表示在事件$B$发生的情况下事件$A$发生的概率，$P(\overline{A}|B)$表示在事件$B$发生的情况下事件$\overline{A}$发生的概率，所以$P(A|B)+P(\overline{A}|B)=1$（在相同条件下，$A,\overline{A}$同样对立），所以D选项正确。故选C。

3. [2023·山东德州高二期末]羽毛球单打实行“三局两胜”制(无平局)。甲、乙两人争夺比赛的冠军。甲在每局比赛中获胜的概率均为 $ \frac{3}{4} $，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为(A)

A.$ \frac{1}{3} $
B.$ \frac{2}{5} $
C.$ \frac{2}{3} $
D.$ \frac{4}{5} $

答案： 3. A 【解析】甲获胜的概率为$\frac{3}{4}×\frac{3}{4}+\frac{1}{4}×\frac{3}{4}×\frac{3}{4}+\frac{3}{4}×\frac{1}{4}×\frac{3}{4}=\frac{27}{32}$，而甲获得冠军且比赛进行了三局，对应的概率为$\frac{1}{4}×\frac{3}{4}×\frac{3}{4}+\frac{3}{4}×\frac{1}{4}×\frac{3}{4}=\frac{9}{32}$，所以在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为$\frac{9}{32}÷\frac{27}{32}=\frac{1}{3}$。故选A。

4. 三个元件 $ T_{1},T_{2},T_{3} $ 正常工作的概率分别为 $ \frac{1}{2} $，$ \frac{3}{4} $，$ \frac{3}{4} $，且互相独立。若将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是(A)


A.$ \frac{15}{32} $
B.$ \frac{9}{32} $
C.$ \frac{7}{32} $
D.$ \frac{17}{32} $

答案： 4. A 【解析】记三个元件$T_1,T_2,T_3$正常工作分别为事件$A_1,A_2,A_3$，则$P(A_1)=\frac{1}{2}$，$P(A_2)=\frac{3}{4}$，$P(A_3)=\frac{3}{4}$，记电路不发生故障为事件$M$，则$M=(A_2\cup A_3)\cap A_1$，所以不发生故障的概率$P(M)=P((A_2\cup A_3)\cap A_1)=[1-P(\overline{A_2})· P(\overline{A_3})]· P(A_1)=\left(1-\frac{1}{4}×\frac{1}{4}\right)×\frac{1}{2}=\frac{15}{32}$。故选A。

5. [2023·福建泉州高二开学考试]甲、乙二人进行乒乓球比赛，已知甲、乙共进行了三局比赛。如果甲、乙二人进行三局两胜制的比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为 $ 0.6 $，乙获胜的概率为 $ 0.4 $，利用计算机模拟试验：用计算机产生 $ 1\sim5 $ 之间的随机数，当出现随机数 $ 1,2 $ 或 $ 3 $ 时，表示一局比赛甲获胜，当出现随机数 $ 4 $ 或 $ 5 $ 时，表示一局比赛乙获胜。因为要比赛三局，所以三个随机数为一组，现产生了 $ 20 $ 组随机数：
$ 123,344,423,114,423,453,354,332,125,342 $，
$ 534,443,541,512,152,432,334,151,314,525 $。
（1）用以上随机数估计甲获胜概率的近似值；
（2）计算甲获胜的概率。

答案： 5.【解】
(1)设事件$A$为“甲获胜”。
计算机产生的20个随机数相当于做了20次重复试验，其中事件$A$发生了13次，对应的数组分别为123,423,114,423,332,125,342,512,152,432,334,151,314。
用频率估计事件$A$的概率近似值为$P(A)=\frac{13}{20}=0.65$。
(2)（破题关键：事件“甲获胜”可分为三类：第一局和第二局比赛甲获胜；第一局比赛甲失败，第二、三局比赛甲获胜；第一、三局比赛甲获胜，第二局比赛甲失败）设事件$A_i$为第$i$局“甲获胜”，则$P(A_i)=0.6$，且$A=A_1A_2+\overline{A_1}A_2A_3+A_1\overline{A_2}A_3$。
根据概率的加法公式和独立事件的定义，得
$P(A)=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648$。

6.(多选)[2023·福建泉州高二月考]已知随机事件 $ A,B $ 发生的概率分别为 $ P(A) = 0.3,P(B) = 0.6 $，则下列说法正确的有(ABC)
A.若 $ P(AB) = 0.18 $，则 $ A,B $ 相互独立
B.若 $ A,B $ 相互独立，则 $ P(B|A) = 0.6 $
C.若 $ A,B $ 相互独立，则 $ P(AB) = 0.18 $
D.若 $ A\subseteq B $，则 $ P(A|B) = 0.3 $

答案： 6. ABC 【解析】对于A，因为$P(AB)=0.18=P(A)P(B)=0.3×0.6$，所以$A,B$相互独立，故A正确；对于B，若$A,B$相互独立，则$P(B|A)=P(B)=0.6$，故B正确；对于C，若$A,B$相互独立，则$P(AB)=0.18$，故C正确；对于D，若$A\subseteq B$，则$P(A|B)=\frac{P(A)}{P(B)}=\frac{0.3}{0.6}=0.5$，故D错误。选ABC。
易错规避 事件$A,B$相互独立的充要条件为$P(AB)=P(A)P(B)$或$P(B|A)=P(B)[P(A)＞0]$或$P(A|B)=P(A)[P(B)＞0]$，两个事件相互独立并不是$A\cap B=\varnothing$。