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2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教B版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教B版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
11. [2022·吉林长春十一高中高二月考]已知 $ n,m $ 为正整数，且 $ n \geq m $，则下列各式正确的个数是(
① $ A_{6}^{3} = 120 $；② $ A_{12}^{7} = C_{12}^{7} · A_{7}^{7} $；③ $ C_{n}^{m} + C_{n + 1}^{m} = C_{n + 1}^{m + 1} $；④ $ C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m} $.
A.1
B.2
C.3
D.4
C
)① $ A_{6}^{3} = 120 $；② $ A_{12}^{7} = C_{12}^{7} · A_{7}^{7} $；③ $ C_{n}^{m} + C_{n + 1}^{m} = C_{n + 1}^{m + 1} $；④ $ C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m} $.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：
11. C 【解析】$ \mathrm{A}_6^3 = 6 × 5 × 4 = 120 $，故①正确；$ \because \mathrm{C}_{12}^7 = \frac{\mathrm{A}_{12}^7}{\mathrm{A}_7^7} $，$ \therefore \mathrm{A}_{12}^7 = \mathrm{C}_{12}^7 · \mathrm{A}_7^7 $，故②正确；当$ n = 3 $，$ m = 3 $时，$ \mathrm{C}_n^m + \mathrm{C}_{n + 1}^m \neq \mathrm{C}_{n + 1}^{m + 1} $，故 ③ 错误；$ \mathrm{C}_n^{n - m} = \frac{n!}{(n - m)![n - (n - m)]!} = \frac{n!}{m!(n - m)!} = \mathrm{C}_n^m $，故④正确。选 C。
12. (高考快递·原创)计划安排甲、乙两个课外兴趣小组到 5 处水质监测点进行水样采集，每个兴趣小组采集 3 处水样，每处水样至少有 1 个兴趣小组进行采集，则不同的安排方法共有(
A.30 种
B.32 种
C.34 种
D.36 种
A
)A.30 种
B.32 种
C.34 种
D.36 种
答案：
12. A 【解析】依题意，每个兴趣小组采集 3 处水样，每处水样至少有 1 个兴趣小组进行采集，可分为两步。第一步，甲组进行采样，有$ \mathrm{C}_5^3 = 10 $（种）安排方法；第二步，乙组进行采样，有$ \mathrm{C}_2^2 × \mathrm{C}_3^1 = 3 $（种）安排方法。所以共有$ 10 × 3 = 30 $（种）不同的安排方法。故选 A。
13. (多选)下列有关排列数、组合数计算正确的有(
A.$ C_{5}^{3} = 5 × 4 × 3 = 60 $
B.从 2,3,5,7 中任取两个数相乘可得 $ C_{4}^{2} $ 个积
C.$ C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + C_{5}^{2} + ·s + C_{100}^{2} = C_{101}^{3} $
D.$ \frac{n(n + 1)(n + 2) ·s (n + 100)}{100!} = 101C_{n + 100}^{101} $
BD
)A.$ C_{5}^{3} = 5 × 4 × 3 = 60 $
B.从 2,3,5,7 中任取两个数相乘可得 $ C_{4}^{2} $ 个积
C.$ C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + C_{5}^{2} + ·s + C_{100}^{2} = C_{101}^{3} $
D.$ \frac{n(n + 1)(n + 2) ·s (n + 100)}{100!} = 101C_{n + 100}^{101} $
答案：
13. BD 【解析】$ \mathrm{C}_5^3 = \frac{5 × 4 × 3}{3 × 2 × 1} = 10 $，A 错误；从 2,3,5,7 中任取两个数相乘可得$ \mathrm{C}_4^2 $个积，B 正确；$ \mathrm{C}_2^2 + \mathrm{C}_3^2 + \mathrm{C}_4^2 + \mathrm{C}_5^2 + ·s + \mathrm{C}_{100}^2 = \mathrm{C}_3^3 + \mathrm{C}_3^2 + \mathrm{C}_4^2 + \mathrm{C}_5^2 + ·s + \mathrm{C}_{100}^2 = \mathrm{C}_4^3 + \mathrm{C}_4^2 + \mathrm{C}_5^2 + ·s + \mathrm{C}_{100}^2 = \mathrm{C}_{101}^3 $，所以$ \mathrm{C}_3^2 + \mathrm{C}_4^2 + \mathrm{C}_5^2 + ·s + \mathrm{C}_{100}^2 = \mathrm{C}_{101}^3 - 1 $，C 错误；$ 101\mathrm{C}_{n + 100}^{101} = 101 × \frac{(n + 100)!}{101!(n - 1)!} = \frac{n(n + 1)(n + 2) ·s (n + 100)}{100!} $，D 正确。故选 BD。
14. (多选)某中学为了提升学生的劳动意识和社会实践能力，利用周末进行社区义务劳动.高三一共 6 个班，其中只有 1 班有 2 个劳动模范，本次义务劳动一共有 20 个名额，劳动模范必须参加且不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是(
A.若 1 班不再分配名额，则共有 $ C_{20}^{4} $ 种分配方法
B.若 1 班有除劳动模范之外的学生参加，则共有 $ C_{19}^{5} $ 种分配方法
C.若每个班至少有 3 人参加，则共有 90 种分配方法
D.若每个班至少有 3 人参加，则共有 126 种分配方法
BD
)A.若 1 班不再分配名额，则共有 $ C_{20}^{4} $ 种分配方法
B.若 1 班有除劳动模范之外的学生参加，则共有 $ C_{19}^{5} $ 种分配方法
C.若每个班至少有 3 人参加，则共有 90 种分配方法
D.若每个班至少有 3 人参加，则共有 126 种分配方法
答案：
14. BD 【解析】对于 A，若 1 班不再分配名额，则将 20 个名额分配到其他 5 个班级，每个班都必须有人参加，可以将 20 个名额看成 20 个小球，排成一排，中间有 19 个空位可用，在其中任选 4 个，安排 4 个挡板，有$ \mathrm{C}_{19}^4 $种情况，即有$ \mathrm{C}_{19}^4 $种分配方法，故 A 错误；对于 B，若 1 班有除劳动模范之外的学生参加，则将 20 个名额分配到 6 个班级，每个班都必须有人参加，可以将 20 个名额看成 20 个小球，排成一排，中间有 19 个空位可用，在其中任选 5 个，安排 5 个挡板，有$ \mathrm{C}_{19}^5 $种情况，即有$ \mathrm{C}_{19}^5 $种分配方法，故 B 正确；对于 C，若每个班至少有 3 人参加，先满足每个班级 2 个名额（除 1 班外，因为 1 班有 2 个劳动模范），还剩 10 个名额，分配到 6 个班级，每个班都必须有人参加，可以将 10 个名额看成 10 个小球，排成一排，中间有 9 个空位可用，在其中任选 5 个，安排 5 个挡板，有$ \mathrm{C}_9^5 = 126 $（种）情况，即有 126 种分配方法，故 C 错误，D 正确。选 BD。
15. [2022·湖南师大附中高三月考]由 1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且 4 不在第四位，则这样的六位数共有
120
个.
答案：
15. 120 【解析】先排偶数，有$ \mathrm{A}_3^3 = 6 $（种）方法，3 个偶数，共有 4 个空格，再将奇数插空，共有$ \mathrm{A}_4^3 = 24 $（种）方法，所以组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻的个数为$ \mathrm{A}_3^3\mathrm{A}_4^3 = 6 × 24 = 144 $。若 4 位于第四位，则第二位必须为偶数，可从数字 2 和 6 中选择一个，有$ \mathrm{C}_2^1 $种方法，第五位与第六位，其中之一为偶数，故从两个位置中选择一个放入 2 和 6 中剩余的一个偶数，有$ \mathrm{C}_2^1 $种方法，剩余 3 个位置，3 个奇数进行全排列，有$ \mathrm{A}_3^3 = 6 $（种）方法，所以由 1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的六位数中，奇数不相邻，4 在第四位的个数为$ \mathrm{C}_2^1\mathrm{C}_2^1\mathrm{A}_3^3 = 24 $，所以 4 不在第四位的六位数的个数为$ 144 - 24 = 120 $。
16. [2022·浙江精诚联盟高三月考]如图，用 4 种不同的颜色给图中的 8 个区域涂色，每种颜色至少使用 1 次，每个区域仅涂 1 种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域 $ A,B,C,D $ 和 $ A_1,B_1,C_1,D_1 $ 分别各涂 2 种不同颜色的涂色方法共有
24 216
种；区域 $ A,B,C,D $ 和 $ A_1,B_1,C_1,D_1 $ 分别各涂 4 种不同颜色的涂色方法共有种.
答案：
16. 24 216 【解析】若区域 A,B,C,D 和$ A_1,B_1,C_1,D_1 $分别各涂 2 种不同的颜色，则 A,C 同色，B,D 同色，$ A_1,C_1 $同色，$ B_1 $与$ D_1 $同色，且$ A_1 $与$ C_1 $、$ B_1 $与$ D_1 $所涂颜色均不与 A 与 C、B 与 D 的颜色相同。所以先涂 A 与 C、B 与 D，有$ \mathrm{C}_4^2\mathrm{A}_2^2 $种涂法，再涂$ A_1 $与$ C_1 $、$ B_1 $与$ D_1 $，有$ \mathrm{A}_2^2 $种涂法，所以共有$ \mathrm{C}_4^2\mathrm{A}_2^2\mathrm{A}_2^2 = 24 $（种）涂法。若区域 A,B,C,D 和$ A_1,B_1,C_1,D_1 $分别各涂 4 种不同的颜色，则先涂 A,B,C,D，共有$ \mathrm{A}_4^4 = 24 $（种）涂法。设四种颜色分别为 a,b,c,d，假设 A,B,C,D 涂的颜色分别为 a,b,c,d，则$ A_1,B_1,C_1,D_1 $的涂色情况如下：(b,a,d,c),(b,c,d,a),(b,d,a,c),(c,a,d,b),(c,d,a,b),(c,d,b,a),(d,a,b,c),(d,c,a,b),(d,c,b,a)，共 9 种，所以共有$ \mathrm{A}_4^4 × 9 = 216 $（种）涂法。
17. [2022·江苏泰兴、如皋四校高二期末](1)已知 $ \frac{1}{C_{5}^{m}} - \frac{1}{C_{6}^{m}} = \frac{7}{10C_{7}^{m}} $，求 $ C_{7}^{m} + C_{7}^{m + 1} + C_{8}^{m + 2} + C_{9}^{m + 3} + C_{10}^{m + 4} $ 的值（用数字作答）；
(2)已知 $ \begin{cases} C_{n}^{x} = C_{n}^{2x}, \\ C_{n}^{x + 1} = \frac{11}{3}C_{n}^{x - 1}, \end{cases} $ 试求 $ x,n $ 的值.
(2)已知 $ \begin{cases} C_{n}^{x} = C_{n}^{2x}, \\ C_{n}^{x + 1} = \frac{11}{3}C_{n}^{x - 1}, \end{cases} $ 试求 $ x,n $ 的值.
答案：
17. 【解】
(1)由$ \frac{1}{\mathrm{C}_5^m} - \frac{1}{\mathrm{C}_6^m} = \frac{7}{10\mathrm{C}_7^m} $，
得$ \frac{m!(5 - m)!}{5!} - \frac{m!(6 - m)!}{6!} = \frac{7 × m!(7 - m)!}{10 × 7!} $，
即$ \frac{m!(5 - m)!}{5!} - \frac{m!(6 - m) × (5 - m)!}{6 × 5!} = \frac{7 × m!(7 - m)(6 - m)(5 - m)!}{10 × 7 × 6 × 5!} $。
化简，得$ 1 - \frac{6 - m}{6} = \frac{(7 - m)(6 - m)}{10 × 6} $。
整理，得$ m^2 - 23m + 42 = 0 $，解得$ m = 2 $或$ m = 21 $。
易知$ 0 \leq m \leq 5 $，所以$ m = 2 $。
所以$ \mathrm{C}_7^m + \mathrm{C}_7^{m + 1} + \mathrm{C}_8^{m + 2} + \mathrm{C}_9^{m + 3} + \mathrm{C}_{10}^{m + 4} = \mathrm{C}_7^2 + \mathrm{C}_7^3 + \mathrm{C}_8^4 + \mathrm{C}_9^5 + \mathrm{C}_{10}^6 = \mathrm{C}_8^3 + \mathrm{C}_8^4 + \mathrm{C}_9^5 + \mathrm{C}_{10}^6 = \mathrm{C}_9^4 + \mathrm{C}_9^5 + \mathrm{C}_{10}^6 = \mathrm{C}_{10}^5 + \mathrm{C}_{10}^6 = \mathrm{C}_{11}^6 = \mathrm{C}_{11}^5 = \frac{11 × 10 × 9 × 8 × 7}{5 × 4 × 3 × 2 × 1} = 462 $。
(2)由$ \mathrm{C}_n^x = \mathrm{C}_n^{2x} $，得$ x = 2x $（舍去）或$ x + 2x = n $，所以$ n = 3x $。
所以$ \mathrm{C}_n^{\frac{n}{3} + 1} = \frac{11}{3} \mathrm{C}_n^{\frac{n}{3} - 1} $，即$ \frac{n!}{\left( \frac{n}{3} + 1 \right)! \left( n - \frac{n}{3} - 1 \right)!} = \frac{11}{3} · \frac{n!}{\left( \frac{n}{3} - 1 \right)! \left( n - \frac{n}{3} + 1 \right)!} $。
化简，得$ 11 · \left( \frac{n}{3} + 1 \right) · \frac{n}{3} = 3 · \left( \frac{2n}{3} + 1 \right) · \frac{2n}{3} $，
即$ 11(n + 3) = 6(2n + 3) $，解得$ n = 15 $，所以$ x = 5 $。
方法总结 组合数公式$ \mathrm{C}_n^m = \frac{n!}{(n - m)!m!} $的主要应用
(1)计算$ m,n $较大时的组合数；
(2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明。
特别地，当$ m ＞ \frac{n}{2} $时，计算$ \mathrm{C}_n^m $，用性质$ \mathrm{C}_n^m = \mathrm{C}_n^{n - m} $进行转化，可以减少计算量。
(1)由$ \frac{1}{\mathrm{C}_5^m} - \frac{1}{\mathrm{C}_6^m} = \frac{7}{10\mathrm{C}_7^m} $，
得$ \frac{m!(5 - m)!}{5!} - \frac{m!(6 - m)!}{6!} = \frac{7 × m!(7 - m)!}{10 × 7!} $，
即$ \frac{m!(5 - m)!}{5!} - \frac{m!(6 - m) × (5 - m)!}{6 × 5!} = \frac{7 × m!(7 - m)(6 - m)(5 - m)!}{10 × 7 × 6 × 5!} $。
化简，得$ 1 - \frac{6 - m}{6} = \frac{(7 - m)(6 - m)}{10 × 6} $。
整理，得$ m^2 - 23m + 42 = 0 $，解得$ m = 2 $或$ m = 21 $。
易知$ 0 \leq m \leq 5 $，所以$ m = 2 $。
所以$ \mathrm{C}_7^m + \mathrm{C}_7^{m + 1} + \mathrm{C}_8^{m + 2} + \mathrm{C}_9^{m + 3} + \mathrm{C}_{10}^{m + 4} = \mathrm{C}_7^2 + \mathrm{C}_7^3 + \mathrm{C}_8^4 + \mathrm{C}_9^5 + \mathrm{C}_{10}^6 = \mathrm{C}_8^3 + \mathrm{C}_8^4 + \mathrm{C}_9^5 + \mathrm{C}_{10}^6 = \mathrm{C}_9^4 + \mathrm{C}_9^5 + \mathrm{C}_{10}^6 = \mathrm{C}_{10}^5 + \mathrm{C}_{10}^6 = \mathrm{C}_{11}^6 = \mathrm{C}_{11}^5 = \frac{11 × 10 × 9 × 8 × 7}{5 × 4 × 3 × 2 × 1} = 462 $。
(2)由$ \mathrm{C}_n^x = \mathrm{C}_n^{2x} $，得$ x = 2x $（舍去）或$ x + 2x = n $，所以$ n = 3x $。
所以$ \mathrm{C}_n^{\frac{n}{3} + 1} = \frac{11}{3} \mathrm{C}_n^{\frac{n}{3} - 1} $，即$ \frac{n!}{\left( \frac{n}{3} + 1 \right)! \left( n - \frac{n}{3} - 1 \right)!} = \frac{11}{3} · \frac{n!}{\left( \frac{n}{3} - 1 \right)! \left( n - \frac{n}{3} + 1 \right)!} $。
化简，得$ 11 · \left( \frac{n}{3} + 1 \right) · \frac{n}{3} = 3 · \left( \frac{2n}{3} + 1 \right) · \frac{2n}{3} $，
即$ 11(n + 3) = 6(2n + 3) $，解得$ n = 15 $，所以$ x = 5 $。
方法总结 组合数公式$ \mathrm{C}_n^m = \frac{n!}{(n - m)!m!} $的主要应用
(1)计算$ m,n $较大时的组合数；
(2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明。
特别地，当$ m ＞ \frac{n}{2} $时，计算$ \mathrm{C}_n^m $，用性质$ \mathrm{C}_n^m = \mathrm{C}_n^{n - m} $进行转化，可以减少计算量。
18. [2022·浙江宁波北仑中学高二期中](1)把 6 个相同的小球放入 4 个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
(2)把 6 个不同的小球放入 4 个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
(3)把 6 个不同的小球放入 4 个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
(2)把 6 个不同的小球放入 4 个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
(3)把 6 个不同的小球放入 4 个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
答案：
18. 【解】
(1)本题可以采用隔板法，将 6 个相同的小球排成一列，在形成的中间 5 个空隙中插入 3 块隔板，不同的放法种数为$ \mathrm{C}_5^3 = 10 $。
(2)先把 6 个不同的小球按 2,2,1,1 和 3,1,1,1 两种方案分成 4 组，每一种分法的 4 组小球分别放入 4 个箱子满足要求，一种分组方法即为一种放法，
所以不同的放法种数为$ \frac{\mathrm{C}_6^2\mathrm{C}_4^2\mathrm{C}_2^1\mathrm{C}_1^1}{\mathrm{A}_2^2\mathrm{A}_2^2} + \mathrm{C}_6^3 = 65 $。
(3)先把 6 个不同的小球按 2,2,1,1 和 3,1,1,1 两种方案分成 4 组，
每一种分法的 4 组小球全排列，得到的每一个排列的 4 组小球分别放入 4 个箱子满足要求，
所以不同的放法种数为$ \left( \frac{\mathrm{C}_6^2\mathrm{C}_4^2\mathrm{C}_2^1\mathrm{C}_1^1}{\mathrm{A}_2^2\mathrm{A}_2^2} + \mathrm{C}_6^3 \right) · \mathrm{A}_4^4 = 1560 $。
(1)本题可以采用隔板法，将 6 个相同的小球排成一列，在形成的中间 5 个空隙中插入 3 块隔板，不同的放法种数为$ \mathrm{C}_5^3 = 10 $。
(2)先把 6 个不同的小球按 2,2,1,1 和 3,1,1,1 两种方案分成 4 组，每一种分法的 4 组小球分别放入 4 个箱子满足要求，一种分组方法即为一种放法，
所以不同的放法种数为$ \frac{\mathrm{C}_6^2\mathrm{C}_4^2\mathrm{C}_2^1\mathrm{C}_1^1}{\mathrm{A}_2^2\mathrm{A}_2^2} + \mathrm{C}_6^3 = 65 $。
(3)先把 6 个不同的小球按 2,2,1,1 和 3,1,1,1 两种方案分成 4 组，
每一种分法的 4 组小球全排列，得到的每一个排列的 4 组小球分别放入 4 个箱子满足要求，
所以不同的放法种数为$ \left( \frac{\mathrm{C}_6^2\mathrm{C}_4^2\mathrm{C}_2^1\mathrm{C}_1^1}{\mathrm{A}_2^2\mathrm{A}_2^2} + \mathrm{C}_6^3 \right) · \mathrm{A}_4^4 = 1560 $。
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