《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教B版》

1. [2023·上海控江中学高二期中]在$(a + b)^{10}$的二项展开式中，第 3 项为(A)

A.$\mathrm{C}_{10}^{2}a^{8}b^{2}$
B.$\mathrm{C}_{10}^{2}a^{2}b^{8}$
C.$\mathrm{C}_{10}^{3}a^{7}b^{3}$
D.$\mathrm{C}_{10}^{3}a^{3}b^{7}$

答案： 1. A 【解析】因为$(a + b)^{10}$的二项展开式的通项公式为$T_{r + 1} = \mathrm{C}_{10}^{r}a^{10 - r}b^{r}$，$r = 0, 1, 2, ·s, 10$，所以第3项为$T_{3} = \mathrm{C}_{10}^{2}a^{8}b^{2}$。故选A。

2. [2022·江苏南通金沙中学高二月考]若$\mathrm{A}_{m - 1}^{2} = 6\mathrm{C}_{m}^{4}$，则$m =$(D)

A.7
B.6
C.5
D.4

答案： 2. D 【解析】因为$\mathrm{A}_{m - 1}^{2} = 6\mathrm{C}_{m}^{4}$，所以$(m - 1)(m - 2) = 6×\frac{m(m - 1)(m - 2)(m - 3)}{4× 3× 2× 1}$。易知$m \geq 4$，解得$m = 4$或$m = -1$（舍去）。故选D。

3. [2023·山西怀仁第一中学高二期中]某会议结束后，21 个会议人员合影留念，他们站成两排，前排 11 人，后排 10 人，A 站在前排正中间位置，B，C 两人也站在前排并与 A 相邻。如果对其他人所站位置不做要求，那么不同的站法共有(D)

A.$\mathrm{A}_{8}^{8}$种
B.$\mathrm{A}_{20}^{20}$种
C.$\mathrm{A}_{3}^{2}\mathrm{A}_{18}^{3}\mathrm{A}_{10}^{10}$种
D.$\mathrm{A}_{2}^{2}\mathrm{A}_{18}^{18}$种

答案： 3. D 【解析】先安排A，只有1种站法。再排B，C两人，有$\mathrm{A}_{2}^{2}$种站法。最后排其他人，有$\mathrm{A}_{18}^{18}$种站法。所以由分步乘法计数原理，得不同的站法共有$\mathrm{A}_{2}^{2}\mathrm{A}_{18}^{18}$种。故选D。

4. [2022·山西运城高二期中]现有语文、数学、外语、物理、化学、生物、政治、历史各 1 本书，平均分给 2 个人，其中政治和历史不分给同一个人，则不同的分配方法有(C)

A.35 种
B.36 种
C.40 种
D.60 种

答案： 4. C 【解析】由题意可得，8本书均分给2个人共有$\mathrm{C}_{8}^{4} = 70$（种）不同的分法。其中政治、历史都分给同一个人的分法有$\mathrm{C}_{6}^{2}· \mathrm{A}_{2}^{2} = 30$（种），所以政治和历史不分给同一个人的不同的分配方法有$70 - 30 = 40$（种）。故选C。

5. 已知$(x^{2} + a)(x - \frac{2}{x})^{5}$的展开式中各项系数的和为 - 3，则该展开式中$x$的系数为(A)

A.0
B.- 120
C.120
D.- 160

答案： 5. A 【解析】因为$(x^{2} + a)\left(x - \frac{2}{x}\right)^{5}$的展开式中各项系数的和为$-3$，所以令$x = 1$，得$-(a + 1) = -3$，解得$a = 2$。因为$\left(x - \frac{2}{x}\right)^{5}$的通项公式为$T_{k + 1} = \mathrm{C}_{5}^{k}x^{5 - k}\left(-\frac{2}{x}\right)^{k}$，$k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$，所以展开式中含$x$的项为$x^{2}· \mathrm{C}_{5}^{3}x^{2}\left(-\frac{2}{x}\right)^{3} + 2· \mathrm{C}_{5}^{2}x^{3}· \left(-\frac{2}{x}\right)^{2} = 0$，故$x$的系数为0。选A。

6. [2023·安徽合肥一中高二期中]在$(1 + x + \frac{1}{x^{2}})^{5}$的展开式中，常数项为(D)

A.15
B.16
C.30
D.31

答案： 6. D 【解析】因为$\left(1 + x + \frac{1}{x^{2}}\right)^{5}$表示5个因式$\left(1 + x + \frac{1}{x^{2}}\right)$的乘积，所以当其中每个因式都取1，或者有2个因式取$x$，1个因式取$\frac{1}{x^{2}}$，其余的2个因式都取1时，即可得到常数项。故常数项为$\mathrm{C}_{5}^{3} + \mathrm{C}_{5}^{2}· \mathrm{C}_{3}^{1}· \mathrm{C}_{2}^{2} = 31$。选D。

7. [2022·广东广州科学城中学高二期中]某校 A，B，C，D，E 五名学生分别上台演讲，若 A 须在 B 前面出场，且都不能在第 3 号位置，则不同的出场次序有(B)

A.18 种
B.36 种
C.60 种
D.72 种

答案： 7. B 【解析】因为A在B的前面出场，且A，B都不在3号位置，所以分三类：第一类，A在第1号位置，B可以在第2，4，5号位置，有$3\mathrm{A}_{3}^{3} = 18$（种）不同的出场次序；第二类，A在第2号位置，B可以在第4，5号位置，有$2\mathrm{A}_{3}^{3} = 12$（种）不同的出场次序；第三类，A在第4号位置，B只能在第5号位置，有$\mathrm{A}_{3}^{3} = 6$（种）不同的出场次序。所以共有$18 + 12 + 6 = 36$（种）不同的出场次序。故选B。

8. [2022·江西抚州第一中学高二月考]将二项式$(\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt[4]{x}})^{8}$的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法种数为(C)

A.$\mathrm{A}_{7}^{3}$
B.$\mathrm{A}_{6}^{6}\mathrm{A}_{6}^{3}$
C.$\mathrm{A}_{6}^{6}\mathrm{A}_{7}^{3}$
D.$\mathrm{A}_{7}^{7}\mathrm{A}_{7}^{3}$

答案： 8. C 【解析】根据题意，得二项展开式的通项公式为$T_{k + 1} = \mathrm{C}_{8}^{k}(\sqrt{x})^{8 - k}\left(\frac{1}{2\sqrt[4]{x}}\right)^{k} = \mathrm{C}_{8}^{k}x^{\frac{8 - k}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}x^{-\frac{k}{4}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{k}\mathrm{C}_{8}^{k}x^{\frac{16 - 3k}{4}}$。因为$0 \leq k \leq 8$且$k \in \mathrm{N}_{+}$，所以当$k = 0$时，$\frac{16 - 3k}{4} = 4$，即$T_{1}$为有理式；当$k = 4$时，$\frac{16 - 3k}{4} = 1$，即$T_{5}$为有理式；当$k = 8$时，$\frac{16 - 3k}{4} = -2$，即$T_{9}$为有理式；当$k \in \{1, 2, 3, 5, 6, 7\}$时，$\frac{16 - 3k}{4} \notin \mathrm{Z}$，即$T_{k}$为无理式。所以$\left(\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt[4]{x}}\right)^{8}$的展开式一共有9个项，有3个有理式，6个无理式。先对6个无理式进行排列，共有$\mathrm{A}_{6}^{6}$种排法；再将3个有理式插入这6个无理式中，共有$\mathrm{A}_{7}^{3}$种排法。根据分步乘法计数原理可得，一共有$\mathrm{A}_{6}^{6}\mathrm{A}_{7}^{3}$种不同的排法。故选C。

9. [2022·山东聊城高二期中]已知$(ax^{2} + \frac{1}{\sqrt{x}})^{10}(a ＞ 0)$展开式的各项系数和为 1024，则下列说法正确的是(BD)

A.展开式中奇数项的二项式系数和为 256
B.展开式中第 6 项的系数最大
C.展开式中存在含$x^{6}$的项
D.展开式中含$x^{15}$项的系数为 45

答案： 9. BD 【解析】$\because$展开式的各项系数之和为1024，$\therefore$令$x = 1$，得$(a + 1)^{10} = 1024$。$\because a ＞ 0$，$\therefore a = 1$，$\therefore$二项式为$\left(x^{2} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{10}$，其通项公式为$T_{k + 1} = \mathrm{C}_{10}^{k}(x^{2})^{10 - k}· \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{k} = \mathrm{C}_{10}^{k}x^{20 - \frac{5}{2}k}$。展开式中奇数项的二项式系数和为$\frac{1}{2} × 1024 = 512$，故A错误；由通项可知，项的系数与其二项式系数相同，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，B正确；令$20 - \frac{5}{2}k = 6$，可得$k = \frac{28}{5}$，它不是自然数，则展开式中不存在含$x^{6}$的项，故C错误；令$20 - \frac{5}{2}k = 15$，解得$k = 2$，所以展开式中含$x^{15}$项的系数为$\mathrm{C}_{10}^{2} = 45$，故D正确。选BD。

10. [2022·河北文安第一中学高二期末]某校计划安排五位老师(包含甲、乙、丙)担任四月三日至四月五日的值班工作，每天都有老师值班，且每人最多值班一天，则下列说法正确的是(AC)

A.若每天安排一人值班，则不同的安排方法共有$\mathrm{A}_{5}^{3}$种
B.若甲、乙、丙三人只有一人安排了值班，则不同的安排方法共有$\mathrm{A}_{3}^{1}\mathrm{A}_{2}^{2}$种
C.若甲、乙两位老师安排在同一天值班，丙没有值班，则不同的安排方法共有$\mathrm{A}_{3}^{3}$种
D.若五位老师都值班了一天，且每天最多安排两位老师值班，则不同的安排方法共有$\mathrm{C}_{5}^{2}\mathrm{C}_{3}^{2}\mathrm{A}_{3}^{3}$种

答案： 10. AC 【解析】对于A，每天安排一人值班，则不同的安排方法共有$\mathrm{A}_{5}^{3}$种，故A正确。对于B，甲、乙、丙三人只有一人安排了值班的安排可分为两步完成：第一步，从甲、乙、丙三人中选出一人，有$\mathrm{A}_{3}^{1}$种选法；第二步，将所选之人与余下两人分别安排到四月三日至四月五日，有$\mathrm{A}_{3}^{3}$种方法。所以不同的安排方法共有$\mathrm{A}_{3}^{1}\mathrm{A}_{3}^{3}$种，故B错误。对于C，甲、乙两位老师安排在同一天值班，丙没有值班等价于将甲、乙视为一个整体，与除甲、乙、丙外的两人一起分别安排到四月三日至四月五日值班，不同的安排方法共有$\mathrm{A}_{3}^{3}$种，故C正确。对于D，安排五位老师都值班了一天班，且每天最多安排两位老师值班可分为两步完成：第一步，先将五人分为两人、两人、一人的三个小组，有$\frac{\mathrm{C}_{5}^{2}\mathrm{C}_{3}^{2}}{\mathrm{A}_{2}^{2}}$种方法；第二步，再将三个小组分别安排到四月三日至四月五日，有$\mathrm{A}_{3}^{3}$种方法。所以不同的安排方法共有$\frac{\mathrm{C}_{5}^{2}\mathrm{C}_{3}^{2}}{\mathrm{A}_{2}^{2}}\mathrm{A}_{3}^{3}$种，故D错误。选AC。

11. [2022·湖南湘西高二期中]已知$(2 - \sqrt{3}x)^{6} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ·s + a_{6}x^{6}$，则下列选项正确的是(ABD)

A.$a_{3} = - 480\sqrt{3}$
B.$(a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6})^{2} - (a_{1} + a_{3} + a_{5})^{2} = 1$
C.$a_{1} + a_{2} + ·s + a_{6} = (2 - \sqrt{3})^{6}$
D.展开式中系数最大的为$a_{2}$

答案： 11. ABD 【解析】$(2 - \sqrt{3}x)^{6}$的通项公式为$T_{k + 1} = \mathrm{C}_{6}^{k}· 2^{6 - k}· (-\sqrt{3})^{k}x^{k}$，所以$T_{3 + 1} = \mathrm{C}_{6}^{3}· 2^{3}· (-\sqrt{3})^{3}x^{3} = -480\sqrt{3}x^{3}$，所以$a_{3} = -480\sqrt{3}$，故A正确。对于B，令$x = 1$，得$(2 - \sqrt{3})^{6} = a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6}$；令$x = -1$，得$(2 + \sqrt{3})^{6} = a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4} - a_{5} + a_{6}$。所以$(a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6})^{2} - (a_{1} + a_{3} + a_{5})^{2} = (a_{0} + a_{1} + ·s + a_{6})(a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} - a_{1} - a_{3} - a_{5}) = (2 - \sqrt{3})^{6} × (2 + \sqrt{3})^{6} = [(2 - \sqrt{3}) × (2 + \sqrt{3})]^{6} = 1$，故B正确。对于C，当$x = 0$时，$a_{0} = 2^{6}$；当$x = 1$时，$(2 - \sqrt{3})^{6} = a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6}$，所以$a_{1} + a_{2} + ·s + a_{6} = (2 - \sqrt{3})^{6} - 2^{6}$，故C错误。对于D，由通项公式$T_{k + 1} = \mathrm{C}_{6}^{k}· 2^{6 - k}· (-\sqrt{3})^{k}x^{k}$，可知当$k = 1, 3, 5$时系数为负数，当$k = 0, 2, 4, 6$时，系数为正数。又$T_{0 + 1} = \mathrm{C}_{6}^{0}· 2^{6}· (-\sqrt{3})^{0}x^{0}$，系数$a_{0} = 64$，$T_{2 + 1} = \mathrm{C}_{6}^{2}· 2^{4}· (-\sqrt{3})^{2}x^{2}$，系数$a_{2} = 720$，$T_{4 + 1} = \mathrm{C}_{6}^{4}· 2^{2}· (-\sqrt{3})^{4}x^{4}$，系数$a_{4} = 540$，$T_{6 + 1} = \mathrm{C}_{6}^{6}· 2^{0}· (-\sqrt{3})^{6}x^{6}$，系数$a_{6} = 27$，故$a_{2}$的值最大，D正确。故选ABD。