《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教B版》

14. [2023·山东青岛高二期中]为积极推动现有多层住宅加装电梯工作，促进居民意见统一，某市城建局制定了《既有多层住宅加装电梯不同楼层业主出资指导区间方案》（以下简称《方案》）并广泛征求居民意见. 工作人员随机调研了某小区多幢五层楼的居民，得到如下数据：

然后依据小概率值 $\alpha = 0.010$ 的独立性检验进行判断.
（1）完成 $2×2$ 列联表，并说明能否据此推断是否同意《方案》与居住楼层是否高于三层有关；

（2）如果表中的数据都扩大为原来的 $10$ 倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断是否同意《方案》与居住楼层是否高于三层之间的关联性，结论还一样吗？请说明理由.

答案：
14. 【解】
(1)$2×2$列联表如下：

因为$\chi^{2}=\frac{100×(28×32 - 28×12)^{2}}{40×60×56×44}\approx5.303 ＜ 6.635 = x_{0.010}$，所以是否同意《方案》与居住楼层是否高于三层没有关系。
(2) 如果表中的数据都扩大为原来的$10$倍，经计算得$\chi^{2}\approx53.03 ＞ 6.635 = x_{0.010}$（当数据都扩大为原来的$10$倍时，$\chi^{2}$也相应扩大$10$倍），依据小概率值$\alpha = 0.010$的独立性检验，是否同意《方案》与居住楼层是否高于三层有关，此推断犯错误的概率不大于$0.01$。
原因是每个数据都扩大为原来的$10$倍，相当于样本量扩大为原来的$10$倍，导致推断结论发生了变化。

15. [2023·辽宁朝阳第一高级中学高三模拟]某中学发布了一项针对学生行为规范的新校规，学生社团想进行一次本校学生对新校规认可度的调查，为了消除被调查者的顾虑，精心设计了一份问卷：

学生社团随机选取了 $150$ 名男学生和 $150$ 名女学生进行问卷调查，已知统计问卷中有 $85$ 张回答“是”.
（1）根据以上的调查结果，利用你所学的知识，估计该校学生对新校规持认可态度的概率；
（2）据核实，以上的 $300$ 名学生中有 $20$ 名学生对新校规持认可态度，其中男生 $15$ 人，女生 $5$ 人，请完成 $2×2$ 列联表，并判断是否有 $97.5\%$ 的把握认为对新校规持认可态度与性别有关.

答案：
15. 【解】
(1) 由题意知抛一个硬币，得到正面或反面是等可能的，故回答第一个问题的人数为$\frac{1}{2}×300 = 150$，回答第二个问题的人数也为$150$。
因为身份证号码最后一个数是否为奇数是等可能的，所以回答第一个问题，选择“是”的学生人数为$150×\frac{1}{2}=75$，则回答第二个问题，选择“是”的同学人数为$85 - 75 = 10$，所以估计该校学生对新校规持认可态度的概率为$\frac{10}{150}=\frac{1}{15}$。
(2) 由题意可得$2×2$列联表如下：

则$\chi^{2}=\frac{300×(15×145 - 5×135)^{2}}{150×150×20×280}=5.357 ＞ 5.024$，故有$97.5\%$的把握认为对新校规持认可态度与性别有关。