《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教B版》

21. [2023·陕西高三一模]某市为了提高蔬菜供应质量，科研所对冬季昼夜温差的大小与某种反季节蔬菜的生长的关系进行研究，他们记录了当地冬季某月$6$号到$10$号间的有关数据，每天的昼夜温差和每天每$100$颗种子中的发芽数，如下表：

该科研所的研究方案：先从这$5$组数据中选取$2$组，用剩下的$3$组数据求线性回归方程，再用被选取的$2$组数据进行检验。
（1）求选取的两组数据恰好是不相邻的$2$天的数据的概率；
（2）若选取的是$6$号、$10$号的两组数据，请根据$7$号、$8$号、$9$号的数据，求出$y$关于$x$的线性回归方程；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过$2$颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得到的线性回归方程是否可靠？

答案： 21.【解】
(1)设事件“选取的两组数据恰好是不相邻的2天的数据”为事件$A $，
从5组数据中选取2组数据的所有情况为$(6,7) $，$(6,8) $，$(6,9) $，$(6,10) $，$(7,8) $，$(7,9) $，$(7,10) $，$(8,9) $，$(8,10) $，$(9,10) $，共10种。
选取的2组数据恰好是不相邻的2天的情况有$(6,8) $，$(6,9) $，$(6,10) $，$(7,9) $，$(7,10) $，$(8,10) $，共6种。
由古典概型的概率公式可知，$P(A) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $。
(2)由题表格中的数据可得$\bar{x} = \frac{1}{3} × (11 + 13 + 12) = 12 $，$\bar{y} = \frac{1}{3} × (25 + 30 + 26) = 27 $，
$\sum_{i = 1}^{3} x_i y_i = 11 × 25 + 13 × 30 + 12 × 26 = 977 $，$\sum_{i = 1}^{3} x_i^2 = 11^2 + 13^2 + 12^2 = 434 $，
$\therefore \hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{3} x_i y_i - 3\bar{x}\bar{y}}{\sum_{i = 1}^{3} x_i^2 - 3\bar{x}^2} = \frac{977 - 3 × 12 × 27}{434 - 3 × 12^2} = \frac{5}{2} $，
$\therefore \hat{a} = \bar{y} - \hat{b}\bar{x} = 27 - \frac{5}{2} × 12 = -3 $，
$\therefore y $关于$x $的线性回归方程为$\hat{y} = \frac{5}{2}x - 3 $。
(3)当$x = 10 $时，$\hat{y} = \frac{5}{2} × 10 - 3 = 22 $，
$\therefore |22 - 23| = 1 ＜ 2 $，
当$x = 8 $时，$\hat{y} = \frac{5}{2} × 8 - 3 = 17 $，
$\therefore |17 - 16| = 1 ＜ 2 $，
所以
(2)中所得到的线性回归方程是可靠的。

22. (高考快递·原创)规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回地任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮。如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败。在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功。
（1）某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮数为随机变量$X$，求$X$的分布列和数学期望。
（2）为验证抽球试验成功的概率不超过$\frac{1}{2}$，有$1000$名数学爱好者独立地进行该抽球试验，记$t$表示成功时抽球试验的轮数，$y$表示对应的人数，部分统计数据如下：

求$y$关于$t$的回归方程$\hat{y}=\frac{\hat{b}}{t}+\hat{a}$，并预测成功的总人数（结果精确到$1$）。

答案： 22.【解】
(1)由题意知，$X $的可能取值为1，2，3，
所以$P(X = 1) = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} $；
$P(X = 2) = \left[ 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^2 \right] \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{12} $；
$P(X = 3) = \left[ 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^2 \right] \left[ 1 - \left( \frac{1}{3} \right)^2 \right] = \frac{2}{3} $。
所以$X $的分布列为
X 1 2 3
P $\frac{1}{4} $ $\frac{1}{12} $ $\frac{2}{3} $
所以$E(X) = 1 × \frac{1}{4} + 2 × \frac{1}{12} + 3 × \frac{2}{3} = \frac{3 + 2 + 24}{12} = \frac{29}{12} $。
(2)令$x = \frac{1}{t} $，$x_i = \frac{1}{t_i} $，$i = 1,2,3,4,5 $，则$\hat{y} = \hat{b}x + \hat{a} $。
由题意知，
$\bar{x} = \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}}{5} \approx 0.46 $，$\bar{y} = \frac{232 + 98 + 60 + 40 + 20}{5} = 90 $，
$\sum_{i = 1}^{5} x_i y_i = 1 × 232 + \frac{1}{2} × 98 + \frac{1}{3} × 60 + \frac{1}{4} × 40 + \frac{1}{5} × 20 = 315 $，
$\sum_{i = 1}^{5} x_i^2 = 1^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{3} \right)^2 + \left( \frac{1}{4} \right)^2 + \left( \frac{1}{5} \right)^2 \approx 1.46 $，
所以$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{5} x_i y_i - 5\bar{x}\bar{y}}{\sum_{i = 1}^{5} x_i^2 - 5\bar{x}^2} = \frac{315 - 5 × 0.46 × 90}{1.46 - 5 × 0.46^2} = \frac{108}{0.402} \approx 269 $，
所以$\hat{a} = 90 - 269 × 0.46 = -33.74 $，$\hat{y} = 269x - 33.74 $，
故所求的回归方程为$\hat{y} = \frac{269}{t} - 33.74 $，
估计$t = 6 $时，$y \approx 11 $；
估计$t = 7 $时，$y \approx 5 $；
估计$t \geq 8 $时，$y ＜ 0 $。
所以预测成功的总人数为$450 + 11 + 5 = 466 $。