《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教B版》

1. [2023·上海徐汇南洋中学高二期末]抛三枚质地均匀的硬币，其中恰好有两枚正面朝上的概率为(B)

A.$ \dfrac{1}{4} $
B.$ \dfrac{3}{8} $
C.$ \dfrac{1}{2} $
D.$ \dfrac{5}{8} $

答案： 1.B【解析】每枚硬币正面朝上的概率都是$\frac{1}{2}$，故抛三枚硬币，其中恰好有两枚正面朝上的概率$p = \mathrm{C}_{3}^{2} × \left(\frac{1}{2}\right)^{2} × \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$。故选B。

2. 甲、乙两人下棋，根据以往总共20次的对弈记录，甲取胜10次，乙取胜10次.两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得200元奖金.第一局、第二局比赛都是甲胜，现在比赛因意外终止.鉴于公平，应该分给甲奖金(C)

A.100元
B.150元
C.175元
D.200元

答案： 2.C【解析】由题意知，甲、乙获胜的概率都是$\frac{1}{2}$，假设比赛继续，甲只需三场中赢得一场即获得全额奖金，甲获胜的概率$p = 1 - \left(1 - \frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{7}{8}$，所以甲应获奖金$200 × \frac{7}{8} = 175$（元）。故选C。

3. [2023·辽宁沈阳高二期末]已知 $ X\sim B\left(4,\dfrac{1}{3}\right) $，则 $ P(X = 1) = $(B)

A.$ \dfrac{8}{81} $
B.$ \dfrac{32}{81} $
C.$ \dfrac{4}{27} $
D.$ \dfrac{8}{27} $

答案： 3.B【解析】因为$X \sim B\left(4, \frac{1}{3}\right)$，所以$P(X = 1) = \mathrm{C}_{4}^{1} × \frac{1}{3} × \left(\frac{2}{3}\right)^{3} = \frac{32}{81}$。故选B。

4. [2023·上海杨浦高级中学高三开学考试]设随机变量 $ \xi\sim B(2,p) $，$ \eta\sim B(3,p) $，若 $ P(\xi\geqslant 1)=\dfrac{5}{9} $，则 $ P(\eta\geqslant 2)= $$\frac{7}{27}$.

答案： 4.$\frac{7}{27}$【解析】$\because$随机变量$\xi \sim B(2, p)$，且$P(\xi \geq 1) = \frac{5}{9}$，$\therefore P(\xi \geq 1) = 1 - P(\xi = 0) = 1 - \mathrm{C}_{2}^{0} · (1 - p)^{2} = \frac{5}{9}$，解得$p = \frac{1}{3}$，$\therefore \eta \sim B\left(3, \frac{1}{3}\right)$，$\therefore P(\eta \geq 2) = 1 - P(\eta = 0) - P(\eta = 1) = 1 - \mathrm{C}_{3}^{0} \left(\frac{1}{3}\right)^{0} \left(\frac{2}{3}\right)^{3} - \mathrm{C}_{3}^{1} \left(\frac{1}{3}\right)^{1} \left(\frac{2}{3}\right)^{2} = 1 - \frac{8}{27} - \frac{4}{9} = \frac{7}{27}$（正难则反，简化计算）。

5. [2023·上海浦东高二期末]小明和小王在课余进行象棋比赛，采用“五局三胜制”或“三局两胜制”定胜负.相对而言，小明棋艺稍弱，每一局赢的概率都为0.4.小明为了让自己在比赛中赢的概率更大些，应该提议采用三局两胜制.(填“三局两胜制”或“五局三胜制”)

答案： 5.三局两胜制【解析】因为小明每一局赢的概率都为$0.4$，所以采用“三局两胜制”时小明获胜的概率为$\mathrm{C}_{2}^{2} × (0.4)^{2} + \mathrm{C}_{2}^{1} × 0.4 × 0.6 × 0.4 = 0.352$，采用“五局三胜制”时小明获胜的概率为$\mathrm{C}_{3}^{3} × 0.4^{3} + \mathrm{C}_{3}^{2} × 0.4^{2} × 0.6 × 0.4 + \mathrm{C}_{3}^{2} × 0.4^{2} × 0.6^{2} × 0.4 = 0.31744$，所以小明选择“三局两胜制”获胜概率更大。

6. [2023·浙江杭州高三开学考试]第二十二届世界杯足球赛于2022年11月21日在卡塔尔举行，是历史上首次在中东国家境内举行，也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.在火热的氛围中，某商场设计了一款足球游戏：场地上共有大、小2个球门，依次对大门和小门射门，射进大门后才能射小门，两次均进球可得到一个世界杯吉祥物“拉伊卜”.已知甲、乙、丙射进大门的概率均为$ \dfrac{3}{4} $，射进小门的概率依次为$ \dfrac{2}{3} $，$ \dfrac{1}{3} $，$ \dfrac{1}{3} $，假设各次进球与否互不影响.
(1)求这3人中至少有2人射进大门的概率；
(2)记这3人中得到“拉伊卜”的人数为$ X $，求$ X $的分布列.

答案： 6.【解】
(1)设3人中射进大门的人数为$Y$，则$Y \sim B\left(3, \frac{3}{4}\right)$，$\therefore P(Y \geq 2) = P(Y = 2) + P(Y = 3) = \mathrm{C}_{3}^{2} × \left(\frac{3}{4}\right)^{2} × \frac{1}{4} + \left(\frac{3}{4}\right)^{3} = \frac{27}{32}$。
(2)甲获得“拉伊卜”的概率$p_{1} = \frac{3}{4} × \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$，乙、丙获得“拉伊卜”的概率$p_{2} = \frac{3}{4} × \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$。由题意，$X$的可能取值为$0, 1, 2, 3$，则$P(X = 0) = \left(1 - \frac{1}{2}\right) × \left(1 - \frac{1}{4}\right)^{2} = \frac{9}{32}$，$P(X = 1) = \frac{1}{2} × \left(1 - \frac{1}{4}\right)^{2} + \left(1 - \frac{1}{2}\right) × \mathrm{C}_{2}^{1} × \frac{1}{4} × \left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{15}{32}$，$P(X = 2) = \mathrm{C}_{2}^{1} × \frac{1}{2} × \frac{1}{4} × \left(1 - \frac{1}{4}\right) + \left(1 - \frac{1}{2}\right) × \left(\frac{1}{4}\right)^{2} = \frac{7}{32}$，$P(X = 3) = \frac{1}{2} × \left(\frac{1}{4}\right)^{2} = \frac{1}{32}$，$\therefore X$的分布列如下表：
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $P$ | $\frac{9}{32}$ | $\frac{15}{32}$ | $\frac{7}{32}$ | $\frac{1}{32}$ |

7. 某学校举行跳跃运动比赛，规则如下：假设比赛过程中每位选手需要进行2次三周及三周以上的跳跃动作，其中甲的三周跳跃动作成功率为0.7，成功完成动作后得8分，失败得4分；甲的四周跳跃动作成功率为0.3，成功完成动作后得15分，失败得6分（每次跳跃动作是否成功相互独立）.
(1)若甲选择先进行一次三周跳跃动作，再进行一次四周跳跃动作，求甲的得分高于14分的概率；
(2)若甲选择连续进行两次三周跳跃动作，$ Y $表示甲的最终得分，求随机变量$ Y $的分布列.

答案：
7.【解】
(1)设甲第$k$次动作成功完成为事件$A_{k}(k = 1, 2)$，甲选择先进行一次三周跳跃动作，再进行一次四周跳跃动作，得分高于14分的情况有：三周跳跃动作与四周跳跃动作都成功；三周跳跃动作失败与四周跳跃动作成功。所以甲的得分高于14分的概率$p = P(A_{1}A_{2}) + P(\overline{A_{1}}A_{2}) = 0.7 × 0.3 + 0.3 × 0.3 = 0.3$。
(2)甲两次动作成功与否相互独立，且成功率均为$0.7$。设$X$为成功完成动作的次数，故$X \sim B(2, 0.7)$，甲选择连续进行两次三周跳跃动作都失败得8分；甲选择连续进行两次三周跳跃动作成功一次得12分；甲选择连续进行两次三周跳跃动作都成功得16分。故$P(Y = 8) = P(X = 0) = \mathrm{C}_{2}^{0} 0.7^{0} × 0.3^{2} = 0.09$，$P(Y = 12) = P(X = 1) = \mathrm{C}_{2}^{1} 0.7^{1} × 0.3^{1} = 0.42$，$P(Y = 16) = P(X = 2) = \mathrm{C}_{2}^{2} 0.7^{2} × 0.3^{0} = 0.49$，所以随机变量$Y$的分布列如下：