《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教B版》

10. [2023·广东高三期末]一堆苹果中大果与小果的比例为 $ 9:1 $，现用一台水果分选机进行筛选. 已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为 5%，把小果筛选为大果的概率为 2%. 经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为(A)

A.$\frac{855}{857}$
B.$\frac{857}{1000}$
C.$\frac{171}{200}$
D.$\frac{9}{10}$

答案： 10. A 【解析】记事件$A_1$为“放入水果分选机的苹果为大果”，事件$A_2$为“放入水果分选机的苹果为小果”，记事件$B$为“水果分选机筛选的苹果为大果”，则$P(A_1)=\frac{9}{10}$，$P(A_2)=\frac{1}{10}$，$P(B|A_1)=\frac{19}{20}$，$P(B|A_2)=\frac{1}{50}$。由全概率公式可得$P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)=\frac{9}{10}×\frac{19}{20}+\frac{1}{10}×\frac{1}{50}=\frac{857}{1000}$，$P(A_1B)=P(A_1)P(B|A_1)=\frac{9}{10}×\frac{19}{20}=\frac{171}{200}=\frac{855}{1000}$，因此，$P(A_1|B)=\frac{P(A_1B)}{P(B)}=\frac{855}{1000}×\frac{1000}{857}=\frac{855}{857}$。故选 A。

11. [2023·广东广州高三期末]若甲盒中有 2 个白球、2 个红球、1 个黑球，乙盒中有 $ x $ 个白球($ x \in \mathbf{N} $)、3 个红球、2 个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球. 若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率不小于 $\frac{5}{12}$，则 $ x $ 的最大值为(C)

A.4
B.5
C.6
D.7

答案： 11. C 【解析】设第一次从甲盒中取出白球、红球、黑球分别为事件$A_1$，$A_2$，$A_3$，从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同为事件$B$，则$P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3)=\frac{2}{5}×\frac{x + 1}{x + 6}+\frac{2}{5}×\frac{4}{x + 6}+\frac{1}{5}×\frac{3}{x + 6}=\frac{2x + 13}{5(x + 6)}\geq\frac{5}{12}$，解得$x\leq6$，则$x$的最大值为6。故选 C。

12. [2023·云南昆明高三“三诊一模”]随机化回答技术是为调查敏感性问题特别设计的问卷调查技术，其基本特征是被调查者对所调查的问题采取随机回答的方式，避免在没有任何保护的情况下直接回答敏感性问题，从而既对被调查者的隐私和秘密加以保护，又能获得所需要的真实信息. 某公司为提升员工的工作效率，规范管理，决定出台新的员工考勤管理方案，方案起草后，为了解员工对新考勤管理方案是否满意，决定采取如下随机化回答技术进行问卷调查：所有员工每人抛掷一枚质地均匀的硬币两次，约定“若结果为一次正面朝上一次反面朝上，则按①回答问卷，否则按②回答问卷”.
①若第一次抛掷硬币出现正面朝上，则在问卷中画“√”，否则画“×”；
②若你对新考勤管理方案满意，则在问卷中画“√”，否则画“×”.
当所有员工完成问卷调查后，统计画“√”与画“×”的比例为 $ 3:2 $，用频率估计概率，则该公司员工对新考勤管理方案的满意率为(C)

A.50%
B.60%
C.70%
D.80%

答案： 12. C 【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币两次，出现（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4种情况（列出所有的情况，利用古典概型求解），其中结果为一次正面朝上一次反面朝上为事件$A$，则共有2种情况满足要求，则$P(A)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$P(\overline{A})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。设回答①且画“√”为事件$B$，则$P(B|A)=\frac{1}{2}$，所以$P(A)· P(B|A)=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。设回答②且画“√”为事件$C$，则$P(C)=\frac{\frac{3}{3 + 2}-P(A)· P(B|A)}{P(\overline{A})}=\frac{\frac{3}{5}-\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{7}{10}$，所以该公司员工对新考勤管理方案的满意率为70%。故选 C。

13. 某品牌汽车厂今年计划生产 10 万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件 $ \mathrm{M} $，其中由本厂自主生产的配件 $ \mathrm{M} $ 可以满足 20%的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家订购. 已知本厂生产配件 $ \mathrm{M} $ 的成本为 500 元/件，从甲、乙两厂订购配件 $ \mathrm{M} $ 的成本分别为 600 元/件、800 元/件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件 $ \mathrm{M} $ 的平均成本控制为 640 元/件.
(1)分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件 $ \mathrm{M} $ 的数量；
(2)已知甲厂、乙厂和本厂生产的配件 $ \mathrm{M} $ 的次品率分别为 4%，2%和 1%，求该厂生产的一辆轿车使用的配件 $ \mathrm{M} $ 是次品的概率；
(3)现有一辆轿车由于使用了次品配件 $ \mathrm{M} $ 出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为 14 000 元，若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件 $ \mathrm{M} $ 来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？

答案： 13. 【解】
(1)设使用甲厂生产的配件$M$的比例为$a$，则使用乙厂生产的配件$M$的比例为$0.8 - a$。
由已知可得$600a + 800×(0.8 - a)+500×0.2 = 640$，
解得$a = 0.5$。
所以需要从甲厂订购配件$M$的数量为$10×0.5 = 5$（万个）；
从乙厂订购配件$M$的数量为$10×(0.8 - 0.5)=3$（万个）。
(2)由
(1)知甲厂、乙厂和本厂生产的配件$M$的比例分别为$0.5$，$0.3$，$0.2$，
所以该汽车厂使用的配件$M$是次品的概率为$0.5×0.04 + 0.3×0.02 + 0.2×0.01 = 0.028$，
所以该厂生产的一辆轿车使用的配件$M$是次品的概率为$0.028$。
(3)设$A$表示“该轿车使用了次品配件$M$”，$B_1$表示“配件$M$来自甲厂”，$B_2$表示“配件$M$来自乙厂”，$B_3$表示“配件$M$来自本厂”。
由
(2)可知$P(A)=0.028$。
该次品配件$M$来自甲厂的概率为$P(B_1|A)=\frac{P(AB_1)}{P(A)}=\frac{P(B_1)P(A|B_1)}{P(A)}=\frac{0.5×0.04}{0.028}=\frac{5}{7}$，
该次品配件$M$来自乙厂的概率为$P(B_2|A)=\frac{P(AB_2)}{P(A)}=\frac{P(B_2)P(A|B_2)}{P(A)}=\frac{0.3×0.02}{0.028}=\frac{3}{14}$，
该次品配件$M$来自本厂的概率为$P(B_3|A)=\frac{P(AB_3)}{P(A)}=\frac{P(B_3)P(A|B_3)}{P(A)}=\frac{0.2×0.01}{0.028}=\frac{1}{14}$，
所以甲厂应承担的费用为$14000×\frac{5}{7}=10000$（元），
乙厂应承担的费用为$14000×\frac{3}{14}=3000$（元），
本厂应承担的费用为$14000×\frac{1}{14}=1000$（元）。