《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教B版》

12. [2022·重庆九龙坡高二期末]某地区为发展 A，B，C，D，E 五个村的经济，引入了“林果、茶园、养殖、旅游、农业特色深加工”五个项目，不同的村安排不同的项目，且每个村只安排一个项目. 由于条件限制，A 村无法实施“农业特色深加工”项目，C 村无法实施“养殖”项目，B，D，E 三个村可以实施任何项目，则符合条件的不同安排方式共有 (C)

A.60 种
B.72 种
C.78 种
D.120 种

答案： 12. C 【解析】依题意，若 C 村实施“农业特色深加工”项目，则有$A_4^4 = 24$（种）安排方法；若 C 村不实施“农业特色深加工”项目，则从剩下的三个村庄选一个实施“农业特色深加工”项目，有 3 种方法，再从除 C 村以外的三个村庄选择一个实施“养殖”项目，有 3 种方法，剩下三个村庄与项目全排列即可，有$A_3^3 = 6$（种）方法，所以共有$3×3×6 = 54$（种）方法. 综上可知，符合条件的不同安排方式共有$24 + 54 = 78$（种）. 故选 C.

13. [2023·吉林四平实验中学高二月考]下列各式不等于 $n!$($n\in\mathbf{N}_{+}$)的是 (B)

A.$A_{n}^{n - 1}$
B.$A_{n + 1}^{n}$
C.$nA_{n - 1}^{n - 1}$
D.$(n - m)!A_{n}^{m}$

答案： 13. B 【解析】选项 A，$A_n^{n - 1} = n·(n - 1)·(n - 2)··s·3·2 = n!$，A 不符合题意；选项 B，$A_{n + 1}^n = (n + 1)·n·(n - 1)·(n - 2)··s·3·2 = (n + 1)!$，B 符合题意；选项 C，$nA_n^{n - 1} = n·(n - 1)·(n - 2)··s·3·2·1 = n!$，C 不符合题意；选项 D，$(n - m)!A_n^m = (n - m)!·\frac{n!}{(n - m)!} = n!$，D 不符合题意. 故选 B.

14. (多选)甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，下列说法正确的是 (ABD)

A.若甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有 24 种
B.若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法有 42 种
C.甲、乙不相邻的排法有 82 种
D.甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有 20 种

答案： 14. ABD 【解析】对于 A，甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，把甲、乙看作 1 个人，2 人只有 1 种排法，然后与其他人全排列，排法共有$A_4^4 = 24$（种），故 A 正确；对于 B，甲在最左端时，排法有$A_4^4 = 24$（种），乙在最左端且甲不在最右端时，排法有$A_1^1A_3^3 = 18$（种），所以最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲的排法共有$24 + 18 = 42$（种），故 B 正确；对于 C，先要排除甲、乙外的其他 3 人，再把甲、乙排进 3 人中间及两端的 4 个位置中，排法共有$A_3^3A_4^2 = 72$（种），故 C 错误；对于 D，先从 5 个位置中选 2 个位置安排丁、戊，再把甲、乙、丙按从左到右的顺序排在剩下的 3 个位置中，排法共有$A_5^2 = 20$（种），故 D 正确. 选 ABD.

15. 期中安排考试科目 9 门，语文、数学、英语三门课的前后顺序已经确定，则期中考试不同的安排顺序有60 480种.

答案： 15. 60 480 【解析】方法一 语文、数学、英语的前后顺序已经确定，除语文、数学、英语之外的 6 科，共有$A_9^6 = 60 480$（种）排法，剩下 3 个位置给语文、数学、英语. 因为它们的顺序确定，只有 1 种方法，所以共有 60 480 种排法.
方法二 语文、数学、英语的前后顺序已经确定，先排语文、数学、英语，只有 1 种排法，然后再让剩下 6 科逐个插空，总共有$4×5×6×7×8×9 = 60 480$（种）排法.
方法三 9 门课程任意排，总共有$A_9^9$种排法. 语文、数学、英语有$A_3^3$种排法. 因为语文、数学、英语的前后顺序已经确定，所以共有$\frac{A_9^9}{A_3^3} = 60 480$（种）排法.

16. [2022·山东淄博高二期中]一条铁路线上原有 $n$ 个车站，为了适应客运，在这条铁路线上又新增了 $m(m＞1)$个车站，客运车票增加了 58 种，则 $n=$14，$m=$2.

答案： 16. 14 2 【解析】由题意，得$A_{n + m}^2 - A_n^2 = (n + m)(n + m - 1) - n(n - 1) = m(2n + m - 1) = 58$. 因为$m$，$n$均为正整数，所以$2n + m - 1$也为正整数，且$2n + m - 1 ＞ m ＞ 1$. 所以$\begin{cases}m = 2, \\ 2n + m - 1 = 29, \end{cases}$解得$\begin{cases}n = 14, \\ m = 2. \end{cases}$

17. 某校“校园文化艺术节文艺总会演”之日，初中、高一、高二分别要演出 7，5，3 个节目. 现回答以下问题(用排列数表示，不需要合并化简)：
(1)若初中的节目彼此都不相邻，则共有多少种不同的出场顺序?
(2)由于一些特殊原因，高一的 5 个节目(分别为 $A_{1}$，$A_{2}$，$A_{3}$，$A_{4}$，$A_{5}$)中的 $A_{1}$ 必须在其余 4 个节目前面演出，高二的 3 个节目(分别为 $B_{1}$，$B_{2}$，$B_{3}$)中的 $B_{1}$ 必须在其余 2 个节目前面演出，则共有多少种出场顺序?

答案： 17. 【解】
(1) 先对高一、高二的节目进行全排列，有$A_8^8$种不同的排法. 再在高一、高二的 8 个节目形成的 9 个空隙中选 7 个排初中的 7 个节目，有$A_9^7$种排法. 由分步乘法计数原理，得共有$A_8^8A_9^7$种不同的出场顺序.
(2) 高一的 5 个节目全排列，有$A_5^5$种不同的排法，其中$A_1$在其余 4 个节目前面，有$A_4^4$种排法. 高二的 3 个节目全排列，有$A_3^3$种不同的排法，其中$B_1$在其余 2 个节目前面，有$A_2^2$种排法. 初中、高一和高二的 15 个节目全排列，有$A_{15}^{15}$种不同的排法. 所以不同的排法共有$\frac{A_{15}^{15}}{A_3^3×A_5^3}×A_4^4×A_2^2$种.

18. 6 个人站成前后三排，每排 2 人，有720种不同的排法.

答案： 18. 720 【解析】6 个人站成前后三排，每排 2 人，分 3 步完成，不同的排法有$A_6^2·A_4^2·A_2^2 = 720$（种）.
易错规避 每排 2 人，分 3 排，分 3 步从 6 个人中逐步每次选 2 人排列即可. 计算时不需要再对结果乘$A_3^3$对不同的排数进行全排列，因为在前 3 步已经分清了 3 排了. 排列问题要弄清是按照什么顺序排列的，不要多算.

19. [2022·陕西西安雨金中学高二月考]若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”. 现从 1，2，3，4，5 这 5 个数字中任取 3 个数字，组成没有重复数字的三位数，其中“伞数”共有 (C)

A.60 个
B.$5^{3}$ 个
C.20 个
D.$3^{5}$ 个

答案： 19. C 【解析】由题意得三位正整数的十位数上的数字只能是 3，4，5. 当十位上的数字是 3 时，其个位和百位上的数字只能是 1，2，“伞数”共有$A_2^2 = 2$（个）；当十位上的数字是 4 时，其个位和百位上的数字只能是 1，2，3，“伞数”共有$A_3^2 = 6$（个）；当十位上的数字是 5 时，其个位和百位上的数字只能是 1，2，3，4，“伞数”共有$A_4^2 = 12$（个）. 所以“伞数”共有$2 + 6 + 12 = 20$（个）. 故选 C.