《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教B版》

1. (多选)[2023·福建上杭第二中学高二月考]下列问题是组合问题的是(AB)

A.由 1,2,3,4 构成的含有两个元素的集合的个数
B.5 个队进行单循环比赛的分组情况的种数
C.3 人去做 5 种不同的工作，每人做 1 种，不同的安排种数
D.由 1,2,3 组成无重复数字的两位数的个数

答案： 1. AB 【解析】对于 A，由 1,2,3,4 构成的含有两个元素的集合的个数，与顺序无关，是组合问题，故 A 符合题意；对于 B，5 个队进行单循环比赛的分组情况的种数，与顺序无关，是组合问题，故 B 符合题意；对于 C，3 人去做 5 种不同的工作，每人做 1 种，不同的安排种数与顺序有关，是排列问题，故 C 不符合题意；对于 D，由 1,2,3 组成无重复数字的两位数的个数，与顺序有关，是排列问题，故 D 不符合题意。选 AB。

2. (多选)下面几个问题属于组合问题的是(AC)

A.设集合 $ A = \{ a,b,c,d \} $，则集合 $ A $ 中含有 3 个元素的子集有多少个
B.某铁路线上有 4 个车站，则这条铁路线上需准备多少种火车票
C.从 7 本不同的书中取出 5 本给某同学，一共有多少种取法
D.3 人去做 5 种不同的工作，每人做一种且互不相同，有多少种分工方法

答案： 2. AC 【解析】（破题关键：依据每一个选项是否与顺序有关，确定是排列问题还是组合问题）对于 A，因为集合 A 的任一个含有 3 个元素的子集与顺序无关，所以 A 是组合问题；对于 B，车票的种数与乘车的起点、终点顺序有关，例如，甲到乙与乙到甲的车票是不同的，所以 B 是排列问题；对于 C，从 7 本不同的书中取出 5 本给某同学，取出的 5 本书并不需要考虑书的顺序，所以 C 是组合问题；对于 D，因为一种分工方法就是从 5 种不同的工作中取出 3 种，按一定顺序分给 3 个人去做，所以 D 是排列问题。故选 AC。

3. [2022·陕西西安高二期末]若 $ C_{9}^{6} - C_{8}^{5} = C_{8}^{k} $，则 $ k $ 等于(C)

A.3
B.6
C.6 或 2
D.6 或 3

答案： 3. C 【解析】由组合数的性质可知$ \mathrm{C}_9^6 = \mathrm{C}_8^5 + \mathrm{C}_8^6 $，即$ \mathrm{C}_9^6 - \mathrm{C}_8^5 = \mathrm{C}_8^6 $。又$ \mathrm{C}_9^6 - \mathrm{C}_8^5 = \mathrm{C}_8^k $，所以$ \mathrm{C}_8^6 = \mathrm{C}_8^k $，所以$ k = 6 $或$ k = 2 $。故选 C。

4. [2022·江苏南京高二期末](1)计算：$ C_{10}^{8} + C_{20}^{19} $.
(2)用组合数公式证明 $ C_{n}^{m} + C_{n}^{m - 1} = C_{n + 1}^{m} $，并利用这一结果计算 $ C_{2}^{2} + C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + ·s + C_{10}^{2} $.

答案： 4. 【解】
(1)$ \mathrm{C}_{10}^2 + \mathrm{C}_{20}^{19} = \mathrm{C}_{10}^2 + \mathrm{C}_{20}^1 = 45 + 20 = 65 $。
(2)因为$ \mathrm{C}_n^m = \frac{n!}{(n - m)!m!} $，$ \mathrm{C}_n^{m - 1} = \frac{n!}{(n - m + 1)!(m - 1)!} $，
所以$ \mathrm{C}_n^m + \mathrm{C}_n^{m - 1} = \frac{n!}{(n - m)!m!} + \frac{n!}{(n - m + 1)!(m - 1)!} = \frac{n!}{(n - m)!(m - 1)!} \left( \frac{1}{m} + \frac{1}{n - m + 1} \right) = \frac{(n + 1)!}{(n + 1 - m)!m!} = \mathrm{C}_{n + 1}^m $。
$ \mathrm{C}_2^2 + \mathrm{C}_3^2 + \mathrm{C}_4^2 + ·s + \mathrm{C}_{10}^2 = \mathrm{C}_3^3 + \mathrm{C}_3^2 + \mathrm{C}_4^2 + ·s + \mathrm{C}_{10}^2 = \mathrm{C}_4^3 + \mathrm{C}_4^2 + ·s + \mathrm{C}_{10}^2 = ·s = \mathrm{C}_{11}^3 = 165 $。

5. [2022·吉林长春十一高中高二月考]从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为(C)

A.56
B.52
C.48
D.40

答案：
5. C 【解析】如图，在八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，共有$ \mathrm{C}_8^3 = 56 $（个）三角形，而其中不是直角三角形的有$ \triangle ACB_1 $，$ \triangle ACD_1 $，$ \triangle BDA_1 $，$ \triangle BDC_1 $，$ \triangle A_1C_1B $，$ \triangle A_1C_1D $，$ \triangle B_1D_1A $，$ \triangle B_1D_1C $，共 8 个，所以直角三角形的个数为$ 56 - 8 = 48 $。故选 C。

6. (多选)[2023·湖北武汉高二期中]在 50 件产品中，有 47 件合格品，3 件不合格品，从这 50 件产品中任意抽取 4 件，则下列结论正确的有(BCD)

A.抽取的 4 件产品中至多有 1 件是不合格品的抽法有 $ (C_{50}^{4} + C_{3}^{1}C_{47}^{3}) $ 种
B.抽取的 4 件产品中至少有 1 件是不合格品的抽法有 $ (C_{3}^{1}C_{47}^{3} + C_{3}^{2}C_{47}^{2} + C_{3}^{3}C_{47}^{1}) $ 种
C.抽取的 4 件产品中至少有 1 件是不合格品的抽法有 $ (C_{50}^{4} - C_{47}^{4}) $ 种
D.抽取的 4 件产品中恰好有 1 件是不合格品的抽法有 $ C_{3}^{1}C_{47}^{3} $ 种

答案： 6. BCD 【解析】对于 A，抽取的 4 件产品中没有不合格品（全为合格品）的抽法有$ \mathrm{C}_{47}^4 $种，抽出产品中恰有 1 件不合格品的抽法有$ \mathrm{C}_3^1\mathrm{C}_{47}^3 $种，所以抽取的 4 件产品中至多有 1 件是不合格品的抽法有$ (\mathrm{C}_{47}^4 + \mathrm{C}_3^1\mathrm{C}_{47}^3) $种，故 A 错误。对于 B，抽出的 4 件产品中至少有 1 件不合格品有三种情形：①抽出产品中恰有 1 件不合格品，抽法有$ \mathrm{C}_3^1\mathrm{C}_{47}^3 $种；②抽出产品中恰有 2 件不合格品，抽法有$ \mathrm{C}_3^2\mathrm{C}_{47}^2 $种；③抽出产品中恰有 3 件不合格品，抽法有$ \mathrm{C}_3^3\mathrm{C}_{47}^1 $种。所以抽取的 4 件产品中至少有 1 件是不合格品的抽法有$ (\mathrm{C}_3^1\mathrm{C}_{47}^3 + \mathrm{C}_3^2\mathrm{C}_{47}^2 + \mathrm{C}_3^3\mathrm{C}_{47}^1) $种，故 B 正确。对于 C，从这 50 件产品中任意抽取 4 件的抽法有$ \mathrm{C}_{50}^4 $种，抽取的 4 件产品中没有不合格品（全为合格品）的抽法有$ \mathrm{C}_{47}^4 $种，故抽出的 4 件产品中至少有 1 件是不合格品的抽法有$ (\mathrm{C}_{50}^4 - \mathrm{C}_{47}^4) $种，故 C 正确。对于 D，抽取的 4 件产品中恰有 1 件不合格品的抽法有$ \mathrm{C}_3^1\mathrm{C}_{47}^3 $种，故 D 正确。选 BCD。

7. [2022·吉林长春外国语学校高二期中]10 名同学进行队列训练，站成前排 3 人后排 7 人.现体育教师要从后排 7 人中抽 2 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为(B)

A.$ C_{7}^{2}A_{5}^{5} $
B.$ C_{7}^{2}A_{5}^{2} $
C.$ C_{7}^{2}A_{3}^{2} $
D.$ C_{7}^{2}A_{4}^{2} $

答案： 7. B 【解析】先从 7 个人中选 2 人调整到前排，有$ \mathrm{C}_7^2 $种方法。调整后前排有 5 个人，再把 2 个人在 5 个位子中选 2 个进行排列，原来的 3 人按照原顺序站在剩下的 3 个位子，有$ \mathrm{A}_5^2 $种方法。所以共有$ \mathrm{C}_7^2\mathrm{A}_5^2 $种方法。故选 B。

8. [2022·辽宁沈阳同泽高中高二月考]4 张卡片的正、反面分别写有数字 1,2；1,3；4,5；6,7.将这 4 张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为336.

答案： 8. 336 【解析】若不考虑数字的重复问题，则 4 张卡片排成一排，可以构成$ \mathrm{A}_4^4 · 2^4 = 384 $（个）数（包括重复的数字）。若其中 2 张卡片都是 1，则可以构成$ \mathrm{C}_4^2 · \mathrm{A}_2^2 · 2^2 = 48 $（个）数。所以将这 4 张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为$ 384 - 48 = 336 $。

9. 现有 6 个参加兴趣小组的名额，分给 4 个班级，每班至少 1 个，则不同的分配方案共有10种.

答案： 9. 10 【解析】方法一 先给每班分配 1 个名额，然后只要求余下的 2 个名额分配到各班的方法数。分为两类：第一类是将 2 个名额分配到 2 个班，有$ \mathrm{C}_4^2 $种分配方案；第二类是将 2 个名额分配到 1 个班，有$ \mathrm{C}_4^1 $种分配方案。所以共有$ \mathrm{C}_4^2 + \mathrm{C}_4^1 = 10 $（种）不同的分配方案。
方法二 把 6 个相同的元素放到 4 个班中，每班至少 1 个，可以用隔板法来解决。把 6 个元素一字排开形成 5 个空，再在 5 个空放置 3 个隔板，共有$ \mathrm{C}_5^3 = 10 $（种）结果，所以不同的分配方案共有 10 种。
易错规避 6 个兴趣小组的名额可以看成是相同的 6 个元素，所以计算时不用对分配后的名额再进行排序，直接进行分组就可以。

10. 5 本不同的书全部分给 4 个学生，每个学生至少 1 本，则不同分法的种数为240.

答案： 10. 240 【解析】先把 5 本书中的 2 本捆绑起来看作 1 个元素，共有$ \mathrm{C}_5^2 $种。这 1 个元素和其他 3 个元素在 4 个位置全排列，共有$ \mathrm{A}_4^4 $种。所以不同分法的种数为$ \mathrm{C}_5^2 · \mathrm{A}_4^4 = 240 $。
易错规避 本题不可以采用隔板法对元素分组求解，因为书是不同的，而隔板法的应用前提是元素相同。选择解题策略时一定要结合题目条件分析策略是否合适，避免选错策略导致计算出错。