《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教B版》

1. [2022·湖南长沙雅礼十六校高三月考]下列不属于 $(x - 2)^3$ 的展开式的项的是(B)

A.$x^3$
B.$6x^2$
C.$12x$
D.$-8$

答案： 1. B 【解析】由二项式定理可知，$(x - 2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$，故$6x^2$不是展开式的项。选 B。

2. [2022·吉林通化高二期中]二项式 $(a + b)^6$ 的展开式中共有(C)

A.5 项
B.6 项
C.7 项
D.8 项

答案： 2. C 【解析】$(a + b)^n$的二项展开式共有$n + 1$项，所以$(a + b)^6$的展开式共有 7 项。故选 C。

3. [2022·安徽宣城六校高二期中]$(a + \sqrt{b})^9$ 的展开式的第 7 项为(B)

A.$104a^7b^2$
B.$84a^3b^3$
C.$63a^3b^3$
D.$36a^7b$

答案： 3. B 【解析】结合题意可知其第 7 项为$\mathrm{C}_{6}^{6}a^{3}(\sqrt{b})^{6} = 84a^{3}b^{3}$。故选 B。

4. (高考快递·原创)二项式 $(x - \frac{2}{x})^6$ 的展开式中含 $x^4$ 项的系数是(C)

A.6
B.$-6$
C.$-12$
D.12

答案： 4. C 【解析】二项式$\left(x - \dfrac{2}{x}\right)^6$的通项为$T_{k + 1} = \mathrm{C}_{6}^{k}x^{6 - k} · \left(-\dfrac{2}{x}\right)^k = (-2)^k\mathrm{C}_{6}^{k}x^{6 - 2k}$。令$6 - 2k = 4$，则$k = 1$，所以二项式$\left(x - \dfrac{2}{x}\right)^6$的展开式中含$x^4$项的系数为$(-2)^1\mathrm{C}_{6}^{1} = -12$。故选 C。

5. [2022·浙江金华师大附中高三月考]二项式 $(\sqrt[3]{x} + \frac{2}{x^2})^6$ 的展开式中有3项有理项，且这些有理项的系数之和为225。

答案： 5. 3 225 思维路径 先求得二项展开式的通项公式$\to$根据$x$的幂指数为整数求得展开式中的有理项$\to$求得结果。
【解析】$\left(\sqrt[3]{x} + \dfrac{2}{x^2}\right)^6$的展开式的通项公式为$T_{k + 1} = \mathrm{C}_{6}^{k} · x^{\frac{6 - k}{3}} · 2^k · x^{-2k} = \mathrm{C}_{6}^{k} · 2^k · x^{\frac{6 - 7k}{3}}$，$k = 0, 1, ·s, 6$。当$k = 0$时，有$T_1 = x^2$；当$k = 3$时，有$T_4 = \mathrm{C}_{6}^{3} · 2^3 · x^{-5} = 160x^{-5}$；当$k = 6$时，有$T_7 = \mathrm{C}_{6}^{6} · 2^6 · x^{-12} = 64x^{-12}$。所以二项式$\left(\sqrt[3]{x} + \dfrac{2}{x^2}\right)^6$的展开式中共有 3 项有理项，且这些有理项的系数之和为$1 + 160 + 64 = 225$。

6. [2022·北京房山高三开学检测]若 $(2x - 1)^4 = a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$，则 $a_2$ =(B)

A.6
B.24
C.$-6$
D.$-24$

答案： 6. B 【解析】展开式中含$x^2$的项为$\mathrm{C}_{4}^{2}(2x)^2(-1)^2 = 24x^2$（关键是求出展开式中含$x^2$的项），所以$a_2 = 24$。故选 B。

7. [2023·北京对外经济贸易大学附属中学高二期中]若二项式 $(x^2 + \frac{2}{\sqrt{x}})^n$ 的展开式中含有常数项，则 $n$ 可以取(A)

A.5
B.6
C.7
D.8

答案： 7. A 【解析】$\left(x^2 + \dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)^n$的通项公式$T_{r + 1} = \mathrm{C}_{n}^{r}(x^2)^{n - r}2^r x^{-\frac{1}{2}r} = \mathrm{C}_{n}^{r} · 2^r x^{2n - \frac{5r}{2}}$，其中$n \geq r$且$n \in \mathbf{N}_+, r \in \mathbf{N}$。要想展开式中含有常数项，则$2n - \dfrac{5r}{2} = 0$，即$n = \dfrac{5r}{4}$，当$r = 4$时，$n = 5$满足要求。经检验，其他选项均不符合题意。故选 A。

8. [2023·辽宁沈阳高三联考]$(\sqrt[3]{3} - 2)^7$ 的展开式中第二个有理项为1 680。

答案： 8. 1 680 【解析】$(\sqrt[3]{3} - 2)^7$的展开式的通项公式为$T_{k + 1} = \mathrm{C}_{7}^{k} · (\sqrt[3]{3})^{7 - k} · (-2)^k = \mathrm{C}_{7}^{k} · 3^{\frac{7 - k}{3}} · (-2)^k$，要使第$k + 1$项为有理数，则$\dfrac{7 - k}{3} \in \mathbf{Z}$（$k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$），则$k$可取$1, 4, 7$，所以$(\sqrt[3]{3} - 2)^7$的展开式中第二个有理项为$\mathrm{C}_{7}^{4} · 3^{\frac{7 - 4}{3}} · (-2)^4 = 35 × 3 × 16 = 1 680$。

9. [2023·辽宁鞍山一中高二期末]在二项式 $(x + \frac{1}{a\sqrt[3]{x}})^n$ 的展开式中，前三项的二项式系数之和为 79.
(1)求 $n$ 的值；
(2)若展开式中的常数项为 $\frac{55}{128}$，求实数 $a$ 的值。

答案： 9. 【解】
(1)二项式$\left(x + \dfrac{1}{a\sqrt[3]{x}}\right)^n$的展开式的前三项的二项式系数依次为$\mathrm{C}_{n}^{0}, \mathrm{C}_{n}^{1}, \mathrm{C}_{n}^{2}$。
因为展开式中的前三项的二项式系数之和等于 79，
所以$\mathrm{C}_{n}^{0} + \mathrm{C}_{n}^{1} + \mathrm{C}_{n}^{2} = 1 + n + \dfrac{n(n - 1)}{2} = 79$，
即$n^2 + n - 156 = 0$，解得$n = 12$或$n = -13$。
因为$n ＞ 0$，所以$n = 12$。
(2)$\left(x + \dfrac{1}{a\sqrt[3]{x}}\right)^{12}$的展开式的通项公式为$T_{r + 1} = \mathrm{C}_{12}^{r}x^{12 - r} · \left(\dfrac{1}{a\sqrt[3]{x}}\right)^r = \mathrm{C}_{12}^{r}\left(\dfrac{1}{a}\right)^r x^{12 - \frac{4r}{3}}$，$r = 0, 1, ·s, 12$。
令$12 - \dfrac{4r}{3} = 0$，得$r = 9$，所以常数项为$\mathrm{C}_{12}^{9}\left(\dfrac{1}{a}\right)^9$。
由已知，得$\mathrm{C}_{12}^{9}\left(\dfrac{1}{a}\right)^9 = \dfrac{55}{128}$，
整理得$\dfrac{220}{a^9} = \dfrac{55}{128}$，
解得$a = 2$。