《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教B版》

1. [2023·吉林长春高二期中]某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是 0.9，连续两天下雨的概率是 0.63. 若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是(B)

A.0.63
B.0.7
C.0.9
D.0.567

答案： 1. B 【解析】记事件$ A $表示“清明节当天下雨”，$ B $表示“随后一天也下雨”，由题意可知，$ P(A) = 0.9 $，$ P(AB) = 0.63 $，所以$ P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{0.63}{0.9} = 0.7 $。故选 B。\n 方法总结 用定义法求条件概率$ P(B|A) $的步骤\n
(1)分析题意，弄清概率模型；\n
(2)计算$ P(A) $，$ P(AB) $；\n
(3)代入公式$ P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} $求$ P(B|A) $。

2. [2023·辽宁营口高二期末]在射击比赛中，甲、乙两人对同一目标各进行一次射击，甲击中目标的概率为 $\frac{3}{5}$，乙击中目标的概率为 $\frac{4}{5}$，在目标被击中的情况下，甲击中目标的概率为(C)

A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{12}{25}$
C.$\frac{15}{23}$
D.$\frac{3}{7}$

答案： 2. C 【解析】由题意得目标被击中的概率$ p_1 = 1 - \frac{2}{5} × \frac{1}{5} = \frac{23}{25} $，甲击中目标的概率$ p_2 = \frac{3}{5} $，则在目标被击中的情况下，甲击中目标的概率$ p = \frac{p_2}{p_1} = \frac{15}{23} $。故选 C。

3. [2023·天津南开中学滨海生态城学校高三期末]设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品. 从中任取 1 件，已知取得的是合格品，则它是一等品的概率为$\frac{14}{19}$.

答案： 3. $\frac{14}{19}$ 【解析】设事件$ A $表示“取得合格品”，事件$ B $表示“取得一等品”。由已知得$ B \subseteq A $，$\therefore AB = B $。\n 方法一 取得的是合格品，它是一等品的概率为$ P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{\frac{70}{100}}{\frac{95}{100}} = \frac{14}{19} $。\n 方法二 取得的是合格品，它是一等品的概率为$ P(B|A) = \frac{n(AB)}{n(A)} = \frac{70}{95} = \frac{14}{19} $。\n 方法总结 计算条件概率的方法\n
(1)定义法：在原样本空间中，先计算$ P(AB) $，$ P(A) $，再利用公式$ P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} $计算。\n
(2)缩小样本空间法：借助古典概型概率公式，转换样本空间，即把给定事件$ A $所含的样本点定义为新的样本空间，并分别找出事件$ A $和事件$ AB $所含的样本点个数$ n(A) $和$ n(AB) $，最后利用公式$ P(B|A) = \frac{n(AB)}{n(A)} $计算。

4. [2023·云南昆明第一中学高三月考]已知事件 $A$，$B$，$C$ 满足 $A$，$B$ 是互斥事件，且 $P((A\cup B)|C)=\frac{1}{2}$，$P(BC)=\frac{1}{12}$，$P(C)=\frac{1}{4}$，则 $P(A|C)$ 的值等于(A)

A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{12}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{3}$

答案： 4. A 【解析】由题意，得$ P(B|C) = \frac{P(BC)}{P(C)} = \frac{1}{3} $。由$ A $，$ B $是互斥事件知，$ P((A \cup B)|C) = P(A|C) + P(B|C) $（只有当$ A $，$ B $互斥时，此公式才成立），所以$ P(A|C) = P((A \cup B)|C) - P(B|C) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} $。故选 A。\n 方法总结 对于较复杂事件的条件概率，常把事件分成两个（或多个）互斥的较简单的事件之和，即当$ A $，$ B $互斥时，$ P((A \cup B)|C) = P(A|C) + P(B|C) $。

5. [2023·河南郑州高二期末]已知随机事件 $A$，$B$ 的概率分别为 $P(A)$，$P(B)$，且 $P(A)P(B)\neq0$，则下列说法正确的是(C)

A.$P(A|B)＜P(AB)$
B.$P(B|A)=P(A|B)$
C.$P(B|A)=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}$
D.$P(B|B)=0$

答案： 5. C 【解析】由条件概率知$ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} $。因为$ P(B) \in (0,1] $，所以$ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} \geq P(AB) $，故 A 不正确。\n $ P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} $，$ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} $。因为$ P(A) $与$ P(B) $不一定相等，所以$ P(B|A) = P(A|B) $不一定成立，故 B 不正确。因为$ P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} $，$ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} $，所以$ P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)} $，故 C 正确；$ P(B|B) = \frac{P(B)}{P(B)} = 1 \neq 0 $，故 D 不正确。选 C。

6. (多选)[2023·河北邯郸高三开学考试]设 $A$，$B$ 是两个随机事件，且 $0＜P(A)＜1$，$0＜P(B)＜1$，若 $B$ 发生时 $A$ 必定发生，则下列结论错误的是(ABD)

A.$P(A + B)=P(B)$
B.$P(B|A)=\frac{P(A)}{P(B)}$
C.$P(A|B)=1$
D.$P(AB)=P(A)$

答案： 6. ABD 【解析】由题意，得$ B \subseteq A $（根据题意判断出事件$ A $，$ B $的关系），所以$ A + B = A $，$ AB = B $，所以$ P(A + B) = P(A) $，$ P(AB) = P(B) $，故 A，D 错误；$ P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{P(B)}{P(A)} $，故 B 错误；$ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{P(B)}{P(B)} = 1 $，故 C 正确。选 ABD。

7. [2023·河北邢台高三期末]某学习小组共有 11 名成员，其中有 6 名女生，为了了解学生的学习状态，随机从这 11 名成员中抽选 2 名任小组组长，协助老师了解情况，$A$ 表示“抽到的 2 名成员都是女生”，$B$ 表示“抽到的 2 名成员性别相同”，则 $P(A|B)=$(A)

A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{5}{11}$

答案： 7. A 【解析】由题意可知$ P(B) = \frac{\mathrm{C}_6^2 + \mathrm{C}_5^2}{\mathrm{C}_{11}^2} = \frac{5}{11} $，$ P(AB) = \frac{\mathrm{C}_6^2}{\mathrm{C}_{11}^2} = \frac{3}{11} $，所以$ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{3}{5} $。故选 A。

8. [2023·天津高三期末]将三个骰子各掷一次，记事件 $A =$“三个点数都不同”，$B =$“至少出现一个 $6$ 点”，则条件概率 $P(B|A)$，$P(A|B)$ 分别等于(B)

A.$\frac{60}{91}$，$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{2}$，$\frac{60}{91}$
C.$\frac{20}{91}$，$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{2}$，$\frac{20}{91}$

答案： 8. B 【解析】由题意知事件$ AB $表示“三个点数都不同且至少出现一个 6 点”。$\because P(A) = \frac{\mathrm{A}_6^3}{6^3} = \frac{120}{216} = \frac{5}{9} $，$ P(B) = \frac{6^3 - 5^3}{6^3} = \frac{91}{216} $，$ P(AB) = \frac{\mathrm{C}_3^1 · \mathrm{A}_5^2}{6^3} = \frac{60}{216} = \frac{5}{18} $，$\therefore P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{\frac{5}{18}}{\frac{5}{9}} = \frac{1}{2} $，$ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{\frac{5}{18}}{\frac{91}{216}} = \frac{60}{91} $。故选 B。

9. [2023·天津高三开学考试]有编号分别为 1，2，3，4 的 4 个红球和 4 个黑球，从中取出 2 个，则取出的球的编号互不相同的概率为$\frac{6}{7}$；在取出的球的编号互不相同的条件下，2 号红球被取到的概率为$\frac{1}{4}$.

答案： 9. $\frac{6}{7}$ $\frac{1}{4}$ 【解析】由已知可得，从中取出 2 个，总的基本事件的个数$ n(\Omega) = \mathrm{C}_8^2 = 28 $。记“取出的球的编号互不相同”为事件$ A $，则$ \overline{A} $表示“取出的球的编号相同”，包含 4 个基本事件，所以事件$ A $包含的基本事件的个数为$ 28 - 4 = 24 $，所以取出的球的编号互不相同的概率为$ \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{24}{28} = \frac{6}{7} $。\n 记“2 号红球被取到”为事件$ B $，则事件$ AB $表示“取出球的编号互不相同，且 2 号红球被取到”，事件$ AB $包含的基本事件有 6 个，在取出的球的编号互不相同的条件下，2 号红球被取到的概率为$ P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{n(AB)}{n(A)} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} $。

10. 某个闯关游戏规定：闯过前一关才能去闯后一关，若某一关没有通过，则游戏结束. 小明闯过第一关的概率为 $\frac{3}{4}$，连续闯过前两关的概率为 $\frac{1}{2}$，连续闯过前三关的概率为 $\frac{1}{4}$. 事件 $A$ 表示小明第一关闯关成功，事件 $C$ 表示小明第三关闯关成功，则 $P(C|A)=$$\frac{1}{3}$.

答案： 10. $\frac{1}{3}$ 【解析】设事件$ B $表示小明第二关闯关成功。由题意得$ P(A) = \frac{3}{4} $，$ P(ABC) = \frac{1}{4} $，所以$ P(C|A) = \frac{P(ABC)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3} $。\n 易错规避 条件概率是指一个事件在另外一个事件已经发生条件下发生的概率，所以一定要弄清事件发生的条件，它和两个事件同时发生的概率不同。