《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教B版》

1. [2023·天津高二期中]在$(1 - 2x)^{8}$的二项展开式中，中间一项的二项式系数是(D)

A.$-32\mathrm{C}_{8}^{5}$
B.$\mathrm{C}_{8}^{5}$
C.$16\mathrm{C}_{8}^{4}$
D.$\mathrm{C}_{8}^{4}$

答案： 1.D 【解析】因为二项式$(1 - 2x)^{8}$的展开式共有9项，所以中间一项为第5项，所以中间一项的二项式系数为$C_{8}^{4}$。故选D。

2. 在$(a + b)^{n}$的二项展开式中，与第$k$项二项式系数相同的项是(D)

A.第$n - k$项
B.第$n - k - 1$项
C.第$n - k + 1$项
D.第$n - k + 2$项

答案： 2.D 【解析】第$k$项的二项式系数是$C_{n}^{k - 1}$。因为$C_{n}^{k - 1}=C_{n}^{n - k + 1}$，所以与第$k$项二项式系数相同的项是第$n - k + 2$项。故选D。

3. [2023·甘肃庆阳高二期末]在$(\sqrt[3]{2}x^{2}-\frac{1}{\sqrt[4]{3}x})^{7}$的展开式中，系数为有理数的项是(C)

A.第$3$项
B.第$4$项
C.第$5$项
D.第$6$项

答案： 3.C 【解析】$\because\left(\sqrt[3]{2}x^{2}-\frac{1}{\sqrt[4]{3}x}\right)^{7}$的展开式的通项公式为$T_{k + 1}=C_{7}^{k}(\sqrt[3]{2}x^{2})^{7 - k}\left(-\frac{1}{\sqrt[4]{3}x}\right)^{k}=C_{7}^{k}·2^{\frac{7 - k}{3}}·(-1)^{k}·3^{-\frac{k}{4}}· x^{14 - 3k}$，$\therefore$当系数为有理数时，$\frac{7 - k}{3}\in Z$，$\frac{k}{4}\in Z$，$\therefore$当$k = 4$时系数为有理数，即第5项系数为有理数。故选C。

4. [2023·福建福州高三模拟]若二项式$(3x^{2}+\frac{1}{x^{2}})^{n}$的展开式中存在常数项，则正整数$n$可以是(C)

A.$1$
B.$5$
C.$6$
D.$7$

答案： 4.C 【解析】$\left(3x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)^{n}$的展开式的通项公式为$T_{r + 1}=C_{n}^{r}(3x^{2})^{n - r}(x^{-2})^{r}=C_{n}^{r}3^{n - r}x^{2n - 4r}$。依题意得，$2n - 4r = 0$，解得$n = 2r$。故$n$是2的倍数。选C。

5. 下列关于$(\sqrt{x}-\frac{2}{x})^{10}$的展开式的说法错误的是(D)

A.展开式共有$11$项
B.展开式中所有项的系数和为$1$
C.展开式中所有奇数项的二项式系数的和为$512$
D.展开式中含$x^{2}$项的系数为$-180$

答案： 5.D 【解析】对于A，因为$n = 10$，所以展开式共有11项，故A说法正确，不符合题意。对于B，令$x = 1$，可知展开式中所有项的系数和为1，故B说法正确，不符合题意。对于C，展开式中所有奇数项的二项式系数的和为$\frac{2^{10}}{2}=512$，故C说法正确，不符合题意。对于D，易知二项式的通项公式为$T_{k + 1}=C_{10}^{k}·(\sqrt{x})^{10 - k}·\left(-\frac{2}{x}\right)^{k}=(-2)^{k}· C_{10}^{k}· x^{\frac{10 - 3k}{2}}$。令$\frac{10 - 3k}{2}=2$，解得$k = 2$，所以展开式中含$x^{2}$项的系数为$(-2)^{2}· C_{10}^{2}=180$，故D说法错误，符合题意。选D。

6. [2023·上海交大附中高三开学考试]已知$(\sqrt{x}+\frac{2}{x})^{n}$的展开式中第$5$项的系数与第$3$项的系数之比为$56:3$，则$n =$10.

答案： 6.10 【解析】易知展开式的通项公式为$T_{r + 1}=C_{n}^{r}(\sqrt{x})^{n - r}\left(\frac{2}{x}\right)^{r}=C_{n}^{r}2^{r}x^{\frac{n - 3r}{2}}$。由题意，得第5项的系数与第3项的系数之比为$\frac{C_{n}^{4}·2^{4}}{C_{n}^{2}·2^{2}}=\frac{56}{3}$，解得$n = 10$（负值已舍去）。

7. [2022·天津高二期中]若$(x-\frac{2}{x})^{5}$的展开式中的二项式系数和为$A$，各项系数和为$B$，则$A - B =$(A)

A.$33$
B.$31$
C.$-33$
D.$-31$

答案： 7.A 【解析】展开式中的二项式系数和为$A = 2^{5}=32$。令$x = 1$，得各项系数和为$B = (1 - 2)^{5}=-1$。所以$A - B = 32 - (-1)=33$。故选A。

8. (多选)关于$(\sqrt{x}-1)^{2021}$及其二项展开式，下列说法正确的是(BC)

A.该二项展开式中偶数项的二项式系数之和为$2^{2021}$
B.该二项展开式中第$8$项为$-\mathrm{C}_{2021}^{7}x^{1007}$
C.当$x = 100$时，$(\sqrt{x}-1)^{2021}$除以$100$的余数是$9$
D.该二项展开式中不含有理项

答案： 8.BC 【解析】偶数项的二项式系数之和为$2^{2020}$，故A错误。展开式中第8项为$T_{7 + 1}=C_{2021}^{7}(\sqrt{x})^{2014}·(-1)^{7}=-C_{2021}^{7}x^{1007}$，故B正确。当$x = 100$时，$(\sqrt{x}-1)^{2021}=(10 - 1)^{2021}=C_{2021}^{0}·10^{2021}-C_{2021}^{1}·10^{2020}+·s - C_{2021}^{2019}·10^{2}+C_{2021}^{2020}·10^{1}-C_{2021}^{2021}=100\left(C_{2021}^{0}·10^{2019}-C_{2021}^{1}·10^{2018}+·s - C_{2021}^{2019}\right)+C_{2021}^{2020}·10^{1}-1$。因为$C_{2021}^{2020}·10^{1}-1 = 20209$，除以100的余数是9，所以当$x = 100$时，$(\sqrt{x}-1)^{2021}$除以100的余数是9，故C正确。$(\sqrt{x}-1)^{2021}$展开式的通项公式为$T_{k + 1}=C_{2021}^{k}(\sqrt{x})^{2021 - k}(-1)^{k}=(-1)^{k}C_{2021}^{k}x^{\frac{2021 - k}{2}}$。当$\frac{2021 - k}{2}$为整数，即$k = 1,3,5,·s,2021$时，$T_{k + 1}$为有理项，故D错误。选BC。

9. [2023·广东佛山南海中学高二月考]已知$(1 - 2x)^{2022}=a_{0}+a_{1}x + a_{2}x^{2}+·s + a_{2022}x^{2022}(x\in\mathbf{R})$，求：
(1)求$a_{0}+a_{1}+a_{2}+·s + a_{2022}$的值.
(2)求$a_{1}+a_{3}+a_{5}+·s + a_{2021}$的值.
(3)求$\vert a_{0}\vert+\vert a_{1}\vert+\vert a_{2}\vert+·s +\vert a_{2022}\vert$的值.
(4)求展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式的系数和.
(5)展开式中二项式系数最大的项是第几项？

答案： 9.【解】
(1)令$x = 1$，得$a_{0}+a_{1}+a_{2}+·s + a_{2022}=(-1)^{2022}=1$。①
(2)令$x = -1$，得$a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+·s - a_{2021}+a_{2022}=3^{2022}$。②
① - ②，得$2(a_{1}+a_{3}+a_{5}+·s + a_{2021})=1 - 3^{2022}$，所以$a_{1}+a_{3}+a_{5}+·s + a_{2021}=\frac{1 - 3^{2022}}{2}$。
(3)$\vert a_{0}\vert+\vert a_{1}\vert+·s + \vert a_{2022}\vert$的和为展开式$(1 + 2x)^{2022}$的系数和。
令$x = 1$，得$\vert a_{0}\vert+\vert a_{1}\vert+\vert a_{2}\vert+·s + \vert a_{2022}\vert=3^{2022}$。
(4)展开式的二项式系数和为$C_{2022}^{0}+C_{2022}^{1}+C_{2022}^{2}+·s + C_{2022}^{2022}=2^{2022}$。
展开式的偶数项的二项式的系数的和为$C_{2022}^{1}+C_{2022}^{3}+C_{2022}^{5}+·s + C_{2022}^{2021}=\frac{2^{2022}}{2}=2^{2021}$。
(5)展开式有2023项，中间项是第1012项，所以展开式中二项式系数最大的项是第1012项。
方法总结 二项展开式中系数和的求法
(1)求形如$(ax + b)^{n}$，$(ax^{2}+bx + c)^{m}(a,b,c\in R,m,n\in N_{+})$的式子的展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令$x = 1$；
求形如$(ax + by)^{n}(a,b\in R,n\in N_{+})$的式子的展开式的各项系数之和，只需令$x = y = 1$。
(2)一般地，若$f(x)=a_{0}+a_{1}x + a_{2}x^{2}+·s + a_{n}x^{n}$，则$f(x)$展开式中各项系数之和为$f(1)$，奇数项系数之和为$a_{0}+a_{2}+a_{4}+·s=\frac{f(1)+f(-1)}{2}$，偶数项系数之和为$a_{1}+a_{3}+a_{5}+·s=\frac{f(1)-f(-1)}{2}$。