《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教B版》

15. [2023·贵州贵阳高三模拟]某学习App的注册用户分散在A，B，C三个不同的学习群里，分别有24 000人，24 000人，36 000人，该App设置了一个名为“七人赛”的积分游戏，规则要求每局游戏从A，B，C三个学习群以分层抽样的方式，在线随机匹配学员共计7人参与游戏.
(1)每局“七人赛”游戏中，应从A，B，C三个学习群分别匹配多少人？
(2)现需要从匹配的7名学员中随机抽取3人进入互动环节，并用$ X $表示进入互动环节的C群人数，求$ X $的分布列.

答案：
15.【解】
(1)三个学习群人数比例为$24000 : 24000 : 36000 = 2 : 2 : 3$，因此，应从A，B，C三个学习群分别匹配2，2，3人（分层抽样的抽样比相同）。
(2)由题可知$X$的所有可能取值为$0, 1, 2, 3$，故$P(X = 0) = \frac{\mathrm{C}_{4}^{3}}{\mathrm{C}_{7}^{3}} = \frac{4}{35}$，$P(X = 1) = \frac{\mathrm{C}_{4}^{2}\mathrm{C}_{3}^{1}}{\mathrm{C}_{7}^{3}} = \frac{18}{35}$，$P(X = 2) = \frac{\mathrm{C}_{4}^{1}\mathrm{C}_{3}^{2}}{\mathrm{C}_{7}^{3}} = \frac{12}{35}$，$P(X = 3) = \frac{\mathrm{C}_{3}^{3}}{\mathrm{C}_{7}^{3}} = \frac{1}{35}$，所以$X$的分布列为

16. [2023·江西新余高二期末]某校计划举行知识竞赛，对前来报名者进行初试，初试合格者进入正赛.初试有备选题6道，从备选题中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者视为合格.已知甲、乙两人报名参加，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对每道题的概率均为$ \dfrac{2}{3} $，且甲、乙两人各题是否答对相互独立.
(1)分别求甲、乙两人进入正赛的概率；
(2)记甲、乙两人中进入正赛的人数为$ \xi $，求$ \xi $的分布列.

答案：
16.【解】
(1)设甲、乙两人答对的题目数分别为$X, Y$，则$X \sim H(6, 4, 4)$，$Y \sim B\left(4, \frac{2}{3}\right)$，可得甲进入正赛的概率$p_{1} = \frac{\mathrm{C}_{4}^{3}\mathrm{C}_{2}^{1} + \mathrm{C}_{4}^{4}}{\mathrm{C}_{6}^{4}} = \frac{3}{5}$，乙进入正赛的概率$p_{2} = P(Y = 3) + P(Y = 4) = \mathrm{C}_{4}^{3} × \left(\frac{2}{3}\right)^{3} × \frac{1}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^{4} = \frac{16}{27}$，故甲、乙两人进入正赛的概率分别为$\frac{3}{5}, \frac{16}{27}$。
(2)由题意可得，$\xi$的所有可能取值为$0, 1, 2$，则$P(\xi = 0) = (1 - p_{1})(1 - p_{2}) = \frac{2}{5} × \frac{11}{27} = \frac{22}{135}$，$P(\xi = 1) = p_{1}(1 - p_{2}) + (1 - p_{1})p_{2} = \frac{3}{5} × \frac{11}{27} + \frac{2}{5} × \frac{16}{27} = \frac{13}{27}$，$P(\xi = 2) = p_{1}p_{2} = \frac{3}{5} × \frac{16}{27} = \frac{16}{45}$，则$\xi$的分布列为

易错规避：超几何分布和二项分布的区别与联系：
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，二项分布描述的是放回抽样问题；
(2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题，二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题；
(3)当调查研究的样本容量很大时，在有放回地抽取和不放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似将超几何分布认为是二项分布。

17. [2023·辽宁葫芦岛高二期末]在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了4个小球，其中3个白球、1个黑球，用两种方法让同学们来摸球.方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球.将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为$ p_{1} $和$ p_{2} $，则(C)

A.$ p_{1}=p_{2} $
B.$ p_{1}＞p_{2} $
C.$ p_{1}＜p_{2} $
D.以上三种情况都有可能

答案： 17.C【解析】（破题关键：方法一中摸出的黑球个数服从二项分布；方法二中在每箱任意摸出两个小球是超几何分布）在方法一中，每箱中的黑球被选中的概率为$\frac{1}{4}$，所以至少摸出一个黑球的概率$p_{1} = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^{20}$。在方法二中，每箱中的黑球被选中的概率为$\frac{\mathrm{C}_{1}^{1}\mathrm{C}_{1}^{1}}{\mathrm{C}_{4}^{2}} = \frac{1}{2}$，所以至少摸出一个黑球的概率$p_{2} = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{10}$。因为$p_{1} - p_{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{10} - \left(\frac{3}{4}\right)^{20} = \left(\frac{8}{16}\right)^{10} - \left(\frac{9}{16}\right)^{10} ＜ 0$，所以$p_{1} ＜ p_{2}$。故选C。
方法总结：超几何分布与二项分布的区别：由古典概型得出超几何分布，由独立重复试验得出二项分布。若$N$件产品中共有$M$件次品，当我们从这些产品中每次抽取一件，共抽取$n$次进行检查时，若是有放回地抽样，则抽到的次品数$X$服从二项分布；若是不放回地抽样且$n \leq N$，则抽到的次品数$X$服从超几何分布。

18. 已知 $ X\sim B(n,p) $，若 $ 4P(X = 2)=3P(X = 3) $，则$ p $的最大值为(B)

A.$ \dfrac{5}{6} $
B.$ \dfrac{4}{5} $
C.$ \dfrac{3}{4} $
D.$ \dfrac{2}{3} $

答案： 18.B【解析】由题意可知$n \geq 3$（注意$n$的隐含范围）。因为$4P(X = 2) = 3P(X = 3)$，所以$4\mathrm{C}_{n}^{2}p^{2}(1 - p)^{n - 2} = 3\mathrm{C}_{n}^{3}p^{3}(1 - p)^{n - 3}$，整理得$4(1 - p) = (n - 2)p$，即$p = \frac{4}{n + 2}$。又$n \in \mathrm{N}_{+}$，且$n \geq 3$，所以$p \leq \frac{4}{5}$。故选B。

19. 高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每颗钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为(C)


A.$ \dfrac{1}{64} $
B.$ \dfrac{15}{64} $
C.$ \dfrac{21}{128} $
D.$ \dfrac{35}{128} $

答案： 19.C【解析】（破题关键：小球每次碰撞的结果相互独立，服从二项分布）小球从起点到第③个格子一共碰撞了7次，其中向左边碰撞5次，向右边碰撞2次，向左、向右的概率均为$\frac{1}{2}$，则向右的次数$X \sim B\left(7, \frac{1}{2}\right)$，所求概率为$p = \mathrm{C}_{7}^{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{5} = \frac{21}{128}$。故选C。