《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教B版》

7. [2023·河南商丘高二期中]设 $ A,B $ 为两个随机事件，若 $ P(A) = \frac{1}{2},P(B) = \frac{3}{4} $，则下列结论正确的是(D)

A.若 $ A\subseteq B $，则 $ P(A\cup B) = \frac{1}{2} $
B.若 $ P(A\cap B) = \frac{3}{8} $，则 $ A,B $ 互斥
C.若 $ A $ 与 $ B $ 相互独立，则 $ P(A\cup B) = \frac{5}{8} $
D.若 $ A $ 与 $ B $ 相互独立，则 $ P(\overline{A}\cap\overline{B}) = \frac{1}{8} $

答案： 7. D 【解析】对于A，若$A\subseteq B$，则$P(A\cup B)=P(B)=\frac{3}{4}$，故A错误；对于B，因为$P(A)=\frac{1}{2}$，$P(B)=\frac{3}{4}$，所以$P(A)· P(B)=\frac{3}{8}=P(A\cap B)$，所以$A,B$相互独立，故B错误；对于C，若$A$与$B$相互独立，则$\overline{A},\overline{B}$也相互独立，则$P(A\cup B)=1-P(\overline{A}\cap\overline{B})=1-P(\overline{A})P(\overline{B})=1-\left(1-\frac{1}{2}\right)×\left(1-\frac{3}{4}\right)=\frac{7}{8}$，故C错误；对于D，若$A$与$B$相互独立，则$\overline{A},\overline{B}$也相互独立，所以$P(\overline{A}\cap\overline{B})=P(\overline{A})P(\overline{B})=\left(1-\frac{1}{2}\right)×\left(1-\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{8}$，故D正确。选D。

8. [2023·辽宁鞍山高二联考]甲罐中有 $ 5 $ 个红球、$ 2 $ 个白球和 $ 3 $ 个黑球，乙罐中有 $ 4 $ 个红球、$ 3 $ 个白球和 $ 3 $ 个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 $ A_1,A_2 $ 和 $ A_3 $ 表示从甲罐取出的球是红球、白球和黑球，再从乙罐中随机取出一球，以 $ B $ 表示从乙罐取出的球是红球，则下列结论正确的是(D)
A.$ P(B|A_1) = \frac{6}{11} $
B.$ P(B) = \frac{2}{5} $
C.事件 $ B $ 与事件 $ A_1 $ 相互独立
D.$ A_1,A_2,A_3 $ 两两互斥

答案： 8. D 【解析】由题意，得$P(B|A_1)=\frac{5}{11}$，A错误；事件$A_1,A_2,A_3$两两互斥，D正确；$P(A_1)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，$P(A_2)=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$，$P(A_3)=\frac{3}{10}$，$P(B|A_2)=\frac{4}{11}$，$P(B|A_3)=\frac{4}{11}$，$P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3)=\frac{1}{2}×\frac{5}{11}+\frac{1}{5}×\frac{4}{11}+\frac{3}{10}×\frac{4}{11}=\frac{9}{22}\neq P(B|A_1)$，因此$B$与$A_1$不是相互独立事件（判断两个事件$A,B$是否相互独立，只需判断$P(B)=P(B|A)$或$P(AB)=P(A)P(B)$是否成立即可），B，C均错误。故选D。

9.(多选)[2023·山东烟台高二月考]已知事件 $ A,B $ 满足 $ P(A) = 0.5,P(B) = 0.2 $，则(BC)

A.若 $ B\subseteq A $，则 $ P(AB) = 0.5 $
B.若 $ A $ 与 $ B $ 互斥，则 $ P(A + B) = 0.7 $
C.若 $ P(B|A) = 0.2 $，则 $ A $ 与 $ B $ 相互独立
D.若 $ A $ 与 $ B $ 相互独立，则 $ P(A\overline{B}) = 0.9 $

答案： 9. BC 【解析】对于A选项，因为$B\subseteq A$，所以$P(AB)=P(B)=0.2$，故A错误；对于B选项，因为$A$与$B$互斥，所以$P(A+B)=P(A)+P(B)=0.7$，故B正确；对C选项，由$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=0.2$，得$P(AB)=0.1$，由$P(AB)=P(A)P(B)=0.1$得$A$与$B$相互独立，故C正确；对于D选项，因为$A$与$B$相互独立，所以$A$与$\overline{B}$相互独立，所以$P(A\overline{B})=P(A)P(\overline{B})=P(A)×[1-P(B)]=0.5×0.8=0.4$，故D错误。选BC。

10.(高考快递·原创)一个不透明的袋子中有 $ 10 $ 个大小、材质一样的小球，其中有 $ m $ 个红球，其余为黑球，从中不放回地先后各摸一个球出来，若第 $ 2 $ 次摸得红球的概率为 $ \frac{2}{5} $，则 $ m = $4。

答案： 10. 4 【解析】由题意得，不透明的袋子中有$m$个红球，$(10-m)$个黑球，当第1次摸出的是红球时，第2次摸得红球的概率为$p_1=\frac{m}{10}×\frac{m-1}{9}$；当第1次摸出的是黑球时，第2次摸得红球的概率为$p_2=\frac{10-m}{10}×\frac{m}{9}$。因为第2次摸得红球的概率为$\frac{2}{5}$，所以$\frac{m}{10}×\frac{m-1}{9}+\frac{10-m}{10}×\frac{m}{9}=\frac{2}{5}$，解得$m=4$。

11. [2023·广东广州番禺中学高二月考]甲、乙、丙三人分别独立地解一道题，甲做对的概率是 $ \frac{1}{2} $，乙做对的概率大于丙做对的概率，三人都做对的概率是 $ \frac{1}{24} $，三人都做错的概率是 $ \frac{1}{4} $，则乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为$\frac{1}{3},\frac{1}{4}$，甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为$\frac{11}{24}$。

答案： $11. \frac{1}{3},\frac{1}{4}；$$\frac{11}{24} 【$解析$】$设甲、乙、丙做对这道题分别为事件$A,B,C，$则$P(A)=\frac{1}{2}。$由题意，得所以解得$\begin{cases}P(B)=\frac{1}{3},\\P(C)=\frac{1}{4}.\end{cases}$设甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题为事件$D，$则$P(D)=P(A)· P(\overline{B})· P(\overline{C})+P(\overline{A})· P(B)· P(\overline{C})+P(\overline{A})· P(\overline{B})· P(C)=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}=\frac{11}{24}，$所以甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为$\frac{11}{24}。$　　

12. [2023·辽宁丹东高一期末]甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 $ 1 $ 分，负方得 $ 0 $ 分，没有平局。三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军。已知甲在三个项目中获胜的概率分别为 $ \frac{1}{2},p,q(p\lt q) $，各项目的比赛结果相互独立，甲得 $ 0 $ 分的概率是 $ \frac{3}{50} $，甲得 $ 3 $ 分的概率是 $ \frac{4}{25} $。
（1）求 $ p,q $ 的值。
（2）甲、乙两人谁获得最终胜利的可能性大？请说明理由。

答案： 12.【解】
(1)由题意得$\begin{cases}\frac{1}{2}(1-p)(1-q)=\frac{3}{50},\frac{1}{2}pq=\frac{4}{25},\end{cases}$且$p＜q$，
解得$\begin{cases}p=\frac{2}{5},\\q=\frac{4}{5}.\end{cases}$
(2)甲得2分的概率$p_1=\frac{1}{2}×\frac{2}{5}×\left(1-\frac{4}{5}\right)+\frac{1}{2}×\left(1-\frac{2}{5}\right)×\frac{4}{5}+\left(1-\frac{1}{2}\right)×\frac{2}{5}×\frac{4}{5}=\frac{11}{25}$，
所以甲得2分或3分的概率$p=\frac{11}{25}+\frac{4}{25}=\frac{3}{5}$，
所以乙得2分或3分的概率为$\frac{2}{5}$，
所以甲获得最终胜利的可能性大。