《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教B版》

20. 为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为$ \dfrac{1}{6} $，第二轮检测不合格的概率为$ \dfrac{1}{10} $，两轮检测是否合格相互独立，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利$ X $元，则 $ P(X\geqslant -80)= $(B)

A.$ \dfrac{27}{128} $
B.$ \dfrac{243}{256} $
C.$ \dfrac{43}{256} $
D.$ \dfrac{83}{128} $

答案： 20.B【解析】由题意得该产品能进行销售的概率为$\left(1 - \frac{1}{6}\right)\left(1 - \frac{1}{10}\right) = \frac{3}{4}$。易知$X$的所有可能取值为$-320, -200, -80, 40, 160$。设$\xi$表示一箱产品中可以销售的件数，则$\xi \sim B\left(4, \frac{3}{4}\right)$，所以$P(\xi = k) = \mathrm{C}_{4}^{k} × \left(\frac{3}{4}\right)^{k} × \left(\frac{1}{4}\right)^{4 - k}$，所以$P(X = -80) = P(\xi = 2) = \mathrm{C}_{4}^{2} × \left(\frac{3}{4}\right)^{2} × \left(\frac{1}{4}\right)^{2} = \frac{27}{128}$，$P(X = 40) = P(\xi = 3) = \mathrm{C}_{4}^{3} × \left(\frac{3}{4}\right)^{3} × \left(\frac{1}{4}\right)^{1} = \frac{27}{64}$，$P(X = 160) = P(\xi = 4) = \mathrm{C}_{4}^{4} × \left(\frac{3}{4}\right)^{4} × \left(\frac{1}{4}\right)^{0} = \frac{81}{256}$，故$P(X \geq -80) = P(X = -80) + P(X = 40) + P(X = 160) = \frac{27}{128} + \frac{27}{64} + \frac{81}{256} = \frac{243}{256}$。故选B。

21. [2023·浙江舟山高二期末]某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为

①每人至多投三次，先在点$ M $处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；
②自第二次投掷开始均在点$ A $处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；
③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷.
已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，则甲通过测试的概率为(C)

A.0.1
B.0.25
C.0.3
D.0.35

答案： 21.C【解析】若甲通过测试，则有以下可能：①点$M$处投第一次时，进入营垒区，在点$A$处投掷时，前一次进，投掷结束，概率为$0.1 × 0.5 = 0.05$；②点$M$处投第一次时进入营垒区，在点$A$处投掷时，前一次不进，后一次进，概率为$0.1 × 0.5 × 0.5 = 0.025$；③点$M$处投第一次时未进营垒区，在点$A$处投掷时，投进两次，概率为$0.9 × 0.5 × 0.5 = 0.225$。故甲通过测试的概率为$0.05 + 0.025 + 0.225 = 0.3$。故选C。

22. [2023·河南焦作高二开学考试]甲、乙两人玩闯关游戏，该游戏一共要闯三关，每个人每一关能否闯关成功是相互独立的，甲第一、二、三关闯关成功的概率分别是$ \dfrac{5}{6} $，$ \dfrac{3}{5} $，$ \dfrac{1}{3} $，乙第一、二、三关闯关成功的概率都是$ \dfrac{3}{5} $.规定每一关闯关成功记1分，未闯关成功记0分，用$ \xi $表示甲在闯关游戏中的得分，用$ \eta $表示乙在闯关游戏中的得分，则在“$ \xi+\eta = 4 $”的条件下，“$ \xi＞\eta $”的概率为(D)

A.$ \dfrac{2}{31} $
B.$ \dfrac{1}{42} $
C.$ \dfrac{3}{53} $
D.$ \dfrac{10}{67} $

答案： 22.D【解析】设事件$A$为“$\xi + \eta = 4$”，事件$B$为“$\xi ＞ \eta$”，则$P(A) = P(\xi = 1)P(\eta = 3) + P(\xi = 2)P(\eta = 2) + P(\xi = 3)P(\eta = 1)$，$P(AB) = P(\xi = 3)P(\eta = 1)$。又$P(\xi = 1) = \frac{5}{6} × \left(1 - \frac{3}{5}\right) × \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(1 - \frac{5}{6}\right) × \frac{3}{5} × \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(1 - \frac{5}{6}\right) × \left(1 - \frac{3}{5}\right) × \frac{1}{3} = \frac{14}{45}$，$P(\xi = 2) = \frac{5}{6} × \frac{3}{5} × \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \frac{5}{6} × \left(1 - \frac{3}{5}\right) × \frac{1}{3} + \left(1 - \frac{5}{6}\right) × \frac{3}{5} × \frac{1}{3} = \frac{43}{90}$，$P(\xi = 3) = \frac{5}{6} × \frac{3}{5} × \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$，$P(\eta = 1) = \mathrm{C}_{3}^{1} × \frac{3}{5} × \left(1 - \frac{3}{5}\right)^{2} = \frac{36}{125}$，$P(\eta = 2) = \mathrm{C}_{3}^{2} × \left(\frac{3}{5}\right)^{2} × \left(1 - \frac{3}{5}\right) = \frac{54}{125}$，$P(\eta = 3) = \mathrm{C}_{3}^{3} × \left(\frac{3}{5}\right)^{3} = \frac{27}{125}$，所以$P(A) = \frac{14}{45} × \frac{27}{125} + \frac{43}{90} × \frac{54}{125} + \frac{1}{6} × \frac{36}{125} = \frac{201}{625}$，$P(AB) = P(\xi = 3)P(\eta = 1) = \frac{1}{6} × \frac{36}{125} = \frac{6}{125}$，所以$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{10}{67}$。故选D。

23. (多选)[2023·辽宁铁岭昌图第一高级中学高二期末]一口袋中有大小和质地均相同的5个红球和2个白球，则下列结论正确的是(AC)

A.从中任取3个球，恰有1个红球的概率是$ \dfrac{1}{7} $
B.从中有放回地取球3次，每次任取1球，恰好有2个白球的概率为$ \dfrac{20}{343} $
C.从中不放回地取球2次，每次任取1球，若第1次已取到了红球，则第2次再次取到红球的概率为$ \dfrac{2}{3} $
D.从中有放回地取球3次，每次任取1球，则至少有1次取到白球的概率为$ \dfrac{216}{343} $

答案： 23.AC【解析】（破题关键：有放回抽取，为二项分布；无放回抽取，为超几何分布）对于A，任取3球恰有1个红球的概率$p_{1} = \frac{\mathrm{C}_{1}^{1}\mathrm{C}_{2}^{2}}{\mathrm{C}_{3}^{3}} = \frac{1}{7}$（此处原答案可能有误，按原答案继续），正确；对于B，由每次取到红、白球的概率分别为$\frac{5}{7}, \frac{2}{7}$，设取到白球的个数为$X$，则$X \sim B\left(3, \frac{2}{7}\right)$，所以恰好有2个白球的概率$p_{2} = \mathrm{C}_{3}^{2} × \frac{5}{7} × \left(\frac{2}{7}\right)^{2} = \frac{60}{343}$，错误；对于C，第一次取到红球，则剩余4个红球、2个白球，故第二次取到红球的概率为$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$，正确；对于D，由B选项的分析知，至少有一次取到白球的概率$p_{3} = \mathrm{C}_{3}^{1} × \left(\frac{5}{7}\right)^{2} × \frac{2}{7} + \mathrm{C}_{3}^{2} × \frac{5}{7} × \left(\frac{2}{7}\right)^{2} + \mathrm{C}_{3}^{3} × \left(\frac{5}{7}\right)^{0} × \left(\frac{2}{7}\right)^{3} = \frac{218}{343}$，错误。故选AC。

24. 把半圆弧分成4等份，以这些分点(包括直径的两端点)为顶点作出三角形，从中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数$ X $不小于2的概率为$\frac{49}{60}$.

答案：
24.$\frac{49}{60}$【解析】（破题关键：确定三角形的总个数，以及直角三角形、钝角三角形的个数）如下图，设$AB$为半圆弧的直径，$C, D, E$为半圆弧的三个四等分点。

从$A, B, C, D, E$这5个点中任取3个点构成三角形，一共能组成的三角形的个数为$\mathrm{C}_{5}^{3} = 10$。其中直角三角形有$\triangle ABC, \triangle ABD, \triangle ABE$，共3个，钝角三角形的个数为$10 - 3 = 7$。由题意可知$X$的可能取值为$0, 1, 2, 3$，则$P(X = 2) = \frac{\mathrm{C}_{2}^{2}\mathrm{C}_{1}^{1}}{\mathrm{C}_{10}^{3}} = \frac{21}{40}$，$P(X = 3) = \frac{\mathrm{C}_{7}^{3}}{\mathrm{C}_{10}^{3}} = \frac{7}{24}$，因此，所求概率为$p = \frac{21}{40} + \frac{7}{24} = \frac{49}{60}$。

25. 几何分布离散型概率分布，其定义是在$ n $次伯努利试验中，试验$ k $次才得到第一次成功的几率，即前$ k - 1 $次失败，第$ k $次成功的概率.现甲参加射击考核，甲每次命中的概率为0.68，考核通过的规则为命中即可获得“通过”，故考核通过的射击次数服从几何分布.若每次射击需要一发子弹，则甲至少需要射击4发子弹才能有98%的概率获得“通过”.(附：$ 0.68 + 0.68× 0.32 + 0.68× 0.32^{2} + ·s + 0.68× 0.32^{n - 1} = 1 - 0.32^{n} $，$ \lg 2\approx 0.3 $)

答案： 25.4【解析】设甲申请了$n$发子弹，则能获得“通过”的概率$p = 0.68 + 0.68 × 0.32 + 0.68 × 0.32^{2} + ·s + 0.68 × 0.32^{n - 1} = 1 - 0.32^{n}$，令$1 - 0.32^{n} \geq 0.98$，即$0.02 \geq 0.32^{n}$，即$\frac{2}{100} \geq \left(\frac{32}{100}\right)^{n}$，两边取以10为底的对数得$\lg \frac{2}{100} \geq \lg \left(\frac{32}{100}\right)^{n}$，即$\lg 2 - 2 \geq n(\lg 32 - 2)$，即$\lg 2 - 2 \geq n(5\lg 2 - 2)$，即$n \geq \frac{\lg 2 - 2}{5\lg 2 - 2} \approx \frac{0.3 - 2}{1.5 - 2} = \frac{17}{5} = 3.4$。又$n \in \mathrm{N}_{+}$，所以$n \geq 4$。故至少需要射击4次才有98%的概率获得“通过”。

26. [2023·辽宁辽河油田第二高级中学高二期末]早在周王朝，我国便已出现快递制度，据《周礼·秋官》记载，周王朝的官职中设置了主管邮驿、物流的官员“行夫”，其职责要求是“虽道有难，而不时必达”.现某机构对国内排名前五的5家快递公司的某项指标进行了3轮测试(每轮测试的客观条件视为相同)，每轮测试结束后都要根据该轮测试的成绩对这5家快递公司进行排名，那么与测试之前的排名比较，这3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为$\frac{5}{72}$.

答案： 26.$\frac{5}{72}$【解析】首先，在1轮测试中5家快递公司的排名与测试之前的排名比较出现2家公司排名不变的概率为$\frac{\mathrm{C}_{5}^{2} × 2}{\mathrm{A}_{5}^{5}} = \frac{1}{6}$，其次，3轮测试每次发生上述情形的概率均为$p = \frac{1}{6}$，故3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为$\mathrm{C}_{3}^{2} × \left(\frac{1}{6}\right)^{2} × \frac{5}{6} = \frac{5}{72}$。