《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教B版》

11. [2023·湖南长沙麓山国际实验学校高二开学考试]袋子中有大小、形状完全相同的 $ 2 $ 个黑球，$ 1 $ 个白球，现从袋子中有放回地随机取球 $ 4 $ 次，取到白球记 $ 0 $ 分，黑球记 $ 1 $ 分，记 $ 4 $ 次取球的总分数为 $ X $，则 (C)

A.$ P(X = 0) = \dfrac{1}{3} $
B.$ P(X = 2) = \dfrac{8}{81} $
C.$ X $ 的期望 $ E(X) = \dfrac{8}{3} $
D.$ X $ 的方差 $ D(X) = \dfrac{8}{3} $

答案： 11. C 【解析】当4次取到的全是白球时，$X = 0$，$P(X = 0)=\mathrm{C}_{4}^{0}\left(\frac{1}{3}\right)^{4}=\frac{1}{81}$，所以A选项错误；当4次中只有2次取到的是黑球时，$X = 2$，$P(X = 2)=\mathrm{C}_{4}^{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{8}{27}$，所以B选项错误；因为$X\sim B\left(4,\frac{2}{3}\right)$，所以$X$的期望$E(X)=4×\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$，$X$的方差$D(X)=4×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{8}{9}$，所以C选项正确，D选项错误。故选C。

12. [2023·江苏南通高三期末]A，B 两组各 $ 3 $ 人独立地破译某密码，A 组每个人译出该密码的概率均为 $ p_1 $，B 组每个人译出该密码的概率均为 $ p_2 $，记 A，B 两组中译出密码的人数分别为 $ X, Y $，且 $ \dfrac{1}{2} ＜ p_1 ＜ p_2 ＜ 1 $，则 (B)

A.$ E(X) ＜ E(Y), D(X) ＜ D(Y) $
B.$ E(X) ＜ E(Y), D(X) ＞ D(Y) $
C.$ E(X) ＞ E(Y), D(X) ＜ D(Y) $
D.$ E(X) ＞ E(Y), D(X) ＞ D(Y) $

答案： 12. B 【解析】由题意可知$X\sim B(3,p_{1})$，所以$E(X)=3p_{1}$，$D(X)=3p_{1}(1 - p_{1})$。同理，$Y\sim B(3,p_{2})$，所以$E(Y)=3p_{2}$，$D(Y)=3p_{2}(1 - p_{2})$。因为$\frac{1}{2}＜p_{1}＜p_{2}＜1$，所以$3p_{1}＜3p_{2}$，所以$E(X)＜E(Y)$。对于二次函数$y = 3x(1 - x)$，其图像的对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，所以函数在$\left(\frac{1}{2},1\right)$上单调递减（根据二次函数的单调性比较大小），所以当$\frac{1}{2}＜p_{1}＜p_{2}＜1$时，有$3p_{1}(1 - p_{1})＞3p_{2}(1 - p_{2})$，即$D(X)＞D(Y)$。故选B。

13. (多选)[2023·山东德州高二期末]若随机变量 $ X $ 服从两点分布，其中 $ P(X = 0) = \dfrac{1}{3} $，$ E(X) $，$ D(X) $ 分别为随机变量 $ X $ 的均值与方差，则下列结论正确的是 (AB)

A.$ P(X = 1) = E(X) $
B.$ E(3X + 2) = 4 $
C.$ D(3X + 2) = 4 $
D.$ D(X) = \dfrac{4}{9} $

答案： 13. AB 【解析】随机变量$X$服从两点分布，其中$P(X = 0)=\frac{1}{3}$，$\therefore P(X = 1)=\frac{2}{3}$，$E(X)=0×\frac{1}{3}+1×\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$，$D(X)=\left(0 - \frac{2}{3}\right)^{2}×\frac{1}{3}+\left(1 - \frac{2}{3}\right)^{2}×\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$，则$P(X = 1)=E(X)$，故A正确；$E(3X + 2)=3E(X)+2 = 3×\frac{2}{3}+2 = 4$，故B正确；$D(3X + 2)=9D(X)=9×\frac{2}{9}=2$，故C错误；$D(X)=\frac{2}{9}$，故D错误。选AB。

14. (多选)[2023·辽宁辽阳高二期末]已知 $ X \sim B(n, p) $，且 $ E(3X - 9) = D(3X - 9) = 27 $，则 (BD)

A.$ n = 18 $
B.$ n = 16 $
C.$ p = \dfrac{1}{4} $
D.$ p = \dfrac{3}{4} $

答案： 14. BD 【解析】由题意可知$3E(X)-9 = 9D(X)=27$，则$\begin{cases}3np - 9 = 27\\9np(1 - p)=27\end{cases}$，解得$\begin{cases}p=\frac{3}{4}\\n = 16\end{cases}$。故选BD。

15. [2023·浙江平湖当湖高级中学高二期中]某单位的一次招聘中，应聘者要经过 A，B，C 三个独立的项目测试，若通过两个或三个项目的测试，则被录用.已知甲通过 A，B，C 每个项目测试的概率都是 $ \dfrac{3}{4} $. 若用 $ X $ 表示甲通过项目测试的个数，则 $ D(X) = $$\frac{9}{16}$.

答案： 15. $\frac{9}{16}$ 【解析】（破题关键：甲通过A,B,C每个项目测试的概率都是$\frac{3}{4}$，且每个项目通过与否相互独立，故为二项分布）由题意，随机变量$X$的可能的取值分别为$0,1,2,3$。因为甲通过A,B,C每个项目测试的概率都是$\frac{3}{4}$，且每个项目通过与否相互独立，所以随机变量$X\sim B\left(3,\frac{3}{4}\right)$，则$D(X)=3×\frac{3}{4}×\left(1 - \frac{3}{4}\right)=\frac{9}{16}$。

16. [2023·江西南昌高三期末]某学校计划选派部分优秀学生参加宣传活动，报名参加的学生需进行测试，共设 $ 4 $ 道选择题，规定必须答完所有题，且每答对一题得 $ 1 $ 分，答错得 $ 0 $ 分，至少得 $ 3 $ 分才能参加宣传活动. 甲、乙、丙三名同学报名参加测试，他们答对每道题的概率都为 $ \dfrac{1}{3} $，且每个人答题相互不受影响.
(1)求甲、乙、丙三名同学恰有两名同学能参加宣传活动的概率；
(2)用随机变量 $ \xi $ 表示三名同学能参加宣传活动的人数，求 $ \xi $ 的数学期望与方差.

答案： 16. 【解】
(1)每名同学参加宣传活动需得3分或4分，即答对3道或4道试题，
所以每名同学参加宣传活动的概率为$\mathrm{C}_{4}^{3}\left(\frac{1}{3}\right)^{3}\left(1 - \frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}\right)^{4}=\frac{1}{9}$。
因为每个人答题相互不受影响，
所以三人是否参加宣传活动是相互独立的。
又因为每个人参加宣传活动的概率均为$\frac{1}{9}$，
所以甲、乙、丙三名同学恰有两名同学参加宣传活动的概率为$\mathrm{C}_{3}^{2}\left(\frac{1}{9}\right)^{2}\left(1 - \frac{1}{9}\right)=\frac{8}{243}$。
(2)因为每个人参加宣传活动的概率均为$\frac{1}{9}$，
所以是独立重复试验。
又随机变量$\xi$表示能参加宣传活动的人数，即3次独立重复试验中$\xi$次成功的概率，
所以随机变量$\xi\sim B\left(3,\frac{1}{9}\right)$，
所以$E(\xi)=np = 3×\frac{1}{9}=\frac{1}{3}$，$D(\xi)=np(1 - p)=3×\frac{1}{9}×\left(1 - \frac{1}{9}\right)=\frac{8}{27}$。