《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教B版》

10. [2022·福建厦门海沧实验中学高二期中]元旦来临之际，某寝室 4 人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则 4 张贺卡不同的分配方式有(B)

A.6 种
B.9 种
C.11 种
D.23 种

答案： 10. B 【解析】设四人 A，B，C，D 写的贺卡分别是$a, b, c, d$。当 A 拿贺卡$b$时，B 可以拿$a, c, d$中的任何一张，即 B 拿$a$，C 拿$d$，D 拿$c$，或 B 拿$c$，D 拿$a$，C 拿$d$，或 B 拿$d$，C 拿$a$，D 拿$c$，所以 A 拿$b$时有 3 种不同的分配方式。同理，A 拿$c, d$时也各有 3 种不同的分配方式。由分类加法计数原理，可知 4 张贺卡不同的分配方式有$3 + 3 + 3 = 9$（种）。故选 B。

11. 将 1，2，3，…，9 这 9 个数字填在如图的 9 个空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下增大。当 3，4 固定在图中的位置时，填写空格的方法有(A)

A.6 种
B.12 种
C.18 种
D.24 种

答案：
11. A 【解析】由题意，填写空格可分三个步骤：第一步，数字$1, 2, 9$必须放在如图的位置，只有 1 种方法。第二步，数字 5 可以放在左下角或右上角 2 个位置，故数字 5 有 2 种方法。

第三步，数字 6 如果和数字 5 相邻，则放数字$7, 8$有 1 种方法；数字 6 如果不和数字 5 相邻，则放数字$7, 8$有 2 种方法，故放数字$6, 7, 8$共有 3 种方法。根据分步乘法计数原理，有$1×2×3 = 6$（种）填写空格的方法。故选 A。

12. 某日，甲、乙、丙三个单位被系统随机预约到 A，B，C 三家医院接种疫苗且每个单位只能被随机预约到一家医院，每家医院每日至多接待两个单位。已知 A 医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体疫苗，B 医院接种的是需要打两针的灭活疫苗，C 医院接种的是需要打三针的重组蛋白疫苗，则甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的预约方案种数为(D)

A.27
B.24
C.18
D.16

答案： 12. D 【解析】由题意，甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗，即甲不可预约 C 医院，则甲可预约 A，B 两家医院。若甲预约 A 医院，乙预约 A 医院，则丙可预约 B，C 医院，共 2 种方案；若甲预约 A 医院，乙预约 B 或 C 医院，则丙可预约 A，B，C 医院，共$2×3 = 6$（种）方案；若甲预约 B 医院，乙预约 A 或 C 医院，则丙可预约 A，B，C 医院，共$2×3 = 6$（种）方案；若甲预约 B 医院，乙预约 B 医院，则丙可预约 A，C 医院，共 2 种方案。所以甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的预约方案种数为$2 + 6 + 6 + 2 = 16$。故选 D。
方法总结：应用分类加法计数原理与分步乘法计数原理解决实际问题时，要善于将这两个计数原理有机地融合在一起，实际问题的解决往往是“类中有步”“步中有类”，要同时运用两个计数原理才能完成整个事件。

13. [2022·江苏盐城高二期末]给四面体 $ ABCD $ 的六条棱涂色，每条棱可涂红、黄、蓝、绿四种颜色中的任意一种，且任意共顶点的两条棱颜色都不相同，则不同的涂色方法种数为(C)

A.24
B.72
C.96
D.144

答案：
13. C 思维路径：可用分步乘法计数原理求解本题。第一步涂$DA$→第二步涂$DB$→第三步涂$DC$→第四步涂$AB$时分两类，$AB$与$CD$同色或不同色→得出涂法总数。
【解析】由题意，第一步涂$DA$有 4 种涂法，第二步涂$DB$有 3 种涂法，第三步涂$DC$有 2 种涂法。

第四步涂$AB$，且$AB$与$DC$同色，则有 1 种涂法。第五步可分为两种情况，若$BC$与$AD$同色，则最后一步涂$AC$有 2 种涂法；若$BC$与$AD$不同色，则最后一步涂$AC$有 1 种涂法。若第四步涂$AB$，且$AB$与$CD$不同色，则$AB$涂第 4 种颜色，此时$BC$，$AC$各有 1 种涂法。综上可知，总的涂法种数是$4×3×2×[1×(2 + 1) + 1×1×1] = 96$。故选 C。

14. [2022·内蒙古赤峰高二期末]2018 年开始实施新高考考试方案，现模拟选科，其中语文、数学、英语为必选科目，物理、历史两科中选择一科，再从化学、生物学、地理、政治四科中任选两科，组合成“3 + 1 + 2”模式。若小王同学在政治和化学这两科中至多选一科，则他选择的组合方式有10种。(用数字作答)

答案： 14. 10 思维路径：考虑物理、历史两科中选择一科→分情况考虑政治和化学这两科都不选、政治和化学这两科选一科→按照计数原理求解。
【解析】第一步，先考虑物理、历史两科中选择一科，有 2 种选法。第二步，若政治和化学这两科都不选，则选生物学、地理，有 1 种选法；若政治和化学这两科选一科，则生物学、地理也选一科，有$2×2 = 4$（种）选法。所以他选择的组合方式共有$2×(1 + 4) = 10$（种）。

15. [2022·吉林长春实验中学高二月考]从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这九个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为53。

答案： 15. 53 【解析】由于 1 只能作真数，从其余数字中任取一个数作底数，对数值均为 0，此时有 1 个对数值。从除 1 以外的其余各数任取两数分别作为对数的底数和真数，共能组成$8×7 = 56$（个）对数式，其中$\log_{2}4 = \log_{3}9$，$\log_{4}2 = \log_{9}3$，$\log_{3}2 = \log_{9}4$，$\log_{2}3 = \log_{4}9$，所以不同的对数值的个数为$1 + 56 - 4 = 53$。

16. 现有 5 幅不同的国画，2 幅不同的油画，7 幅不同的水彩画。
(1)从中任选 1 幅画布置房间，有几种不同的选法？
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选 1 幅布置房间，有几种不同的选法？
(3)从这些画中选出 2 幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？
(4)要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？

答案： 16. 【解】
(1)分为三类：
第一类，从国画中选，有 5 种不同的选法；
第二类，从油画中选，有 2 种不同的选法；
第三类，从水彩画中选，有 7 种不同的选法。
根据分类加法计数原理，共有$5 + 2 + 7 = 14$（种）不同的选法。
(2)分为三步：
第一步，从国画中选，有 5 种不同的选法；
第二步，从油画中选，有 2 种不同的选法；
第三步，从水彩画中选，有 7 种不同的选法。
根据分步乘法计数原理，共有$5×2×7 = 70$（种）不同的选法。
(3)分为三类：
第一类是 1 幅选自国画，有 5 种不同的选法；1 幅选自油画，有 2 种不同的选法。
由分步乘法计数原理知，有$5×2 = 10$（种）不同的选法。
第二类是 1 幅选自国画，有 5 种不同的选法；1 幅选自水彩画，有 7 种不同的选法。
由分步乘法计数原理知，有$5×7 = 35$（种）不同的选法。
第三类是 1 幅选自油画，有 2 种不同的选法；1 幅选自水彩画，有 7 种不同的选法。
由分步乘法计数原理知，有$2×7 = 14$（种）不同的选法。
所以根据分类加法计数原理，共有$10 + 35 + 14 = 59$（种）不同的选法。
(4)从 3 幅画中选出 2 幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：
第一步，从 3 幅画中选 1 幅挂在左边墙上，有 3 种选法；
第二步，从剩下的 2 幅画中选 1 幅挂在右边墙上，有 2 种选法。
根据分步乘法计数原理，共有$3×2 = 6$（种）不同的挂法。

17. 设 $ A=\{ x|x\geqslant 10,x\in N\} $，$ B\subseteq A $，且 $ B $ 中元素满足：①任意一个元素的各数位的数字互不相同；②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于 9。
(1)求 $ B $ 中的两位数和三位数的个数。
(2)$ B $ 中是否存在五位数、六位数？
(3)若从小到大排列 $ B $ 中元素，求第 1 081 个元素。

答案： 17. 【解】
(1)两位数中，十位上的数字可取$1, 2, 3, ·s, 9$，个位上的数字由于不能和十位上的数字重复，且与十位上的数字之和不能为 9，故对于十位上的每一个数字，相应的个位数字有 8 种取法，从而满足题意的两位数共有$9×8 = 72$（个）。
对于三位数，我们先考虑百位上的数字，可取$1, 2, 3, ·s, 9$。
再考虑十位上的数字，由于不能与百位上的数字重复，且与百位上的数字之和不能为 9，故有 8 种取法。
最后考虑个位上的数字，由于不能和百位、十位上的数字重复，且和百位、十位上的数字相加都不能等于 9，故有 6 种取法。
从而符合题意的三位数有$9×8×6 = 432$（个）。
(2)五位数存在，如$12\ 340$就是其中一个。
不存在这样的六位数。理由如下：
仿照
(1)的解法，十万位上的数字有 9 种取法，万位上的数字有 8 种取法，千位上的数字有 6 种取法，百位上的数字有 4 种取法，十位上的数字有 2 种取法，个位上的数字有 0 种取法，所以不存在这样的六位数。
(3)由
(1)可得，符合题意的两位数有 72 个，三位数有 432 个。
符合题意的四位数有$9×8×6×4 = 1\ 728$（个）。
四位数中千位上是 1 的有$8×6×4 = 192$（个）；
千位上是$2, 3$的也各有 192 个。
因为$1\ 081 - (72 + 432 + 192 + 192 + 192) = 1$（个）。
所以符合题意的数是千位上是 4 的最小的数，即$B$中第$1\ 081$个元素是$4\ 012$。

18. 设直线的方程是 $ Ax + By = 0 $，从 1，2，3，4，5 这 5 个数中每次取 2 个不同的数作为 $ A $，$ B $ 的值，则所得不同直线的条数是(C)

A.20
B.19
C.18
D.16

答案： 18. C 【解析】从$1, 2, 3, 4, 5$这 5 个数中每次取 2 个不同的数作为$A, B$的值共有$5×4 = 20$（种）结果。在这些直线中有重合的直线，当$A = 1, B = 2$和当$A = 2, B = 4$时，结果相同。把$A, B$交换位置又有一组相同的结果。所以所得不同直线的条数是$20 - 2 = 18$。故选 C。
易错规避：解本题时容易出现重复计算的情况，一定要把相同的直线的条数去掉，避免多算。