《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教B版》

1. [2023·河北保定唐县第二中学高二月考]$(x + 2y)(x - y)^5$ 的展开式中含 $x^3y^3$ 项的系数为(B)

A.30
B.10
C.-30
D.-10

答案： 1. B 【解析】由题意知$(x + 2y)(x - y)^5 = x(x - y)^5 + 2y(x - y)^5$，且$(x - y)^5$的通项公式为$T_{r + 1} = C_5^r x^{5 - r}(-y)^r$。令$r = 3$，则$T_4 = C_5^3 x^2(-y)^3$，令$r = 2$，则$T_3 = C_5^2 x^3(-y)^2$，所以含$x^3 y^3$项的系数为$C_5^3(-1)^3 + 2C_5^2(-1)^2 = -10 + 20 = 10$。故选B。

2. [2022·江苏南通高二期末]在 $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)$ 的展开式中，含 $x^3$ 项的系数为(D)

A.50
B.35
C.24
D.10

答案： 2. D 【解析】$(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)$展开式中的$x^3$项为$x^3 · 4 + x^3 · 3 + x^3 · 2 + x^3 · 1 = 10x^3$，所以含$x^3$项的系数为10。故选D。

3. (高考快递·原创)$(x - \frac{2}{x})^4(1 + 2x)^3$ 的展开式中常数项为(B)

A.-384
B.-360
C.24
D.360

答案： 3. B 【解析】$\left(x - \frac{2}{x}\right)^4$的通项公式为$T_{k + 1} = C_4^k x^{4 - k} · \left(-\frac{2}{x}\right)^k = (-2)^k C_4^k x^{4 - 2k}$，$(1 + 2x)^3$的通项公式为$T_{s + 1} = C_3^s 1^{3 - s}(2x)^s = 2^s C_3^s x^s$，所以$\left(x - \frac{2}{x}\right)^4(1 + 2x)^3$的通项公式为$(-2)^k C_4^k x^{4 - 2k} · 2^s C_3^s x^s = (-2)^k 2^s C_4^k C_3^s x^{4 - 2k + s}$，其中$0 \leq k \leq 4$，$0 \leq s \leq 3$。要求$\left(x - \frac{2}{x}\right)^4(1 + 2x)^3$的展开式中的常数项，只需$4 - 2k + s = 0$，所以$s = 0, k = 2$或$s = 2, k = 3$，所以常数项为$(-2)^2 2^0 C_4^2 C_3^0 + (-2)^3 2^2 C_4^3 C_3^2 = 24 - 384 = -360$。故选B。

4. [2022·福建南平高三期中]已知多项式 $x^2(x - 1)^4 = a_1(x + 1)^6 + a_2(x + 1)^5 + ·s + a_6(x + 1) + a_7$，则 $a_4 =$-88.

答案： 4. -88 【解析】令$x + 1 = t$，则$x = t - 1$。由$x^2(x - 1)^4 = a_1(x + 1)^6 + a_2(x + 1)^5 + ·s + a_6(x + 1) + a_7$，得$(t - 1)^2 · (t - 2)^4 = a_1 t^6 + a_2 t^5 + ·s + a_6 t + a_7$，即$(t^2 - 2t + 1)(t - 2)^4 = a_1 t^6 + a_2 t^5 + ·s + a_6 t + a_7$。$(t - 2)^4$的通项公式为$T_{k + 1} = C_4^k t^{4 - k}(-2)^k$，所以$a_6 = 1 × C_4^3 × (-2)^3 + (-2) × C_4^2 × (-2)^2 + 1 × C_4^1 × (-2) = -88$。

5. 设 $(x - 5)(x + 1)^6 = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ·s + a_7x^7$，且 $(x + 2)^6$ 的展开式的各二项式系数之和为 $m$.
(1) 求 $\frac{a_0 + a_2 + a_4 + a_6 + m}{a_0(a_1 + a_3 + a_5 + a_7)}$ 的值；
(2) 求 $a_2 + a_5$ 的值.

答案： 5. 【解】
(1)令$x = 0$，得$a_0 = (0 - 5) × (0 + 1)^6 = -5$。
令$x = 1$，得$a_0 + a_1 + a_2 + ·s + a_7 = (1 - 5) × (1 + 1)^6 = -256$。①
令$x = -1$，得$a_0 - a_1 + a_2 + ·s + a_6 - a_7 = (-1 - 5) × (-1 + 1)^6 = 0$。②
①+②，得$2(a_0 + a_2 + a_4 + a_6) = -256$，
所以$a_0 + a_2 + a_4 + a_6 = -128$，
所以$a_1 + a_3 + a_5 + a_7 = -256 - (-128) = -128$。
易知$(x + 2)^6$的展开式的各二项式系数之和为$m = 2^6 = 64$，
所以$\frac{a_0 + a_2 + a_4 + a_6 + m}{a_0(a_1 + a_3 + a_5 + a_7)} = \frac{-128 + 64}{-5 × (-128)} = \frac{-64}{-5 × (-128)} = -\frac{1}{10}$。
(2)结合题意可得
$a_2 x^2 = x C_6^2 x × 1^5 - 5 C_6^4 x^2 × 1^4 = -69x^2$，所以$a_2 = -69$。
$a_5 x^5 = C_6^2 x^4 × 1^2 - 5 C_6^1 x^5 × 1 = -15x^5$，所以$a_5 = -15$。
所以$a_2 + a_5 = -84$。

6. $(x^2 + x + 2)^4$ 的展开式中 $x^3$ 的系数为(B)

A.42
B.56
C.62
D.66

答案： 6. B 思维路径▶先将$x + 2$看成整体和$x^2$进行展开分析哪些项含有$x^3$→得到$x^3$的系数。
【解析】方法一 $(x^2 + x + 2)^4 = [(x + 2) + x^2]^4 = C_4^0 (x + 2)^4 + C_4^1 (x + 2)^3 x^2 + C_4^2 (x + 2)^2 x^4 + C_4^3 (x + 2)^1 x^6 + C_4^4 x^8$，所以$x^3$的系数为$C_4^0 · C_4^1 · 2 + C_4^1 · C_3^2 · 2^2 = 56$。故选B。
方法二 $(x^2 + x + 2)^4$可以看成4个$x^2 + x + 2$相乘，展开式中$x^3$可以在1个$x^2 + x + 2$里选择$x^2$，在1个$x^2 + x + 2$里选择$x$，在剩下的因式中选择2，此时$x^3$的系数为$C_4^1 C_3^1 × 2^2$；也可以在3个$x^2 + x + 2$中各选1个$x$，剩下的因式中选择2，此时$x^3$的系数为$C_4^3 × 2$。综上，展开式中$x^3$的系数为$C_4^1 C_3^1 × 2^2 + C_4^3 × 2 = 56$。故选B。

7. 若 $(x + 2 + m)^9 = a_0 + a_1(x + 1) + a_2(x + 1)^2 + ·s + a_9(x + 1)^9$，且 $(a_0 + a_2 + ·s + a_8)^2 - (a_1 + a_3 + ·s + a_9)^2 = 3^9$，则实数 $m$ 的值可以为(A)

A.1 或 -3
B.-1
C.-1 或 3
D.-3

答案： 7. A 【解析】在$(x + 2 + m)^9 = a_0 + a_1(x + 1) + a_2(x + 1)^2 + ·s + a_9 · (x + 1)^9$中，令$x = -2$，得$a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + ·s + a_8 - a_9 = m^9$，即$(a_0 + a_2 + ·s + a_8) - (a_1 + a_3 + ·s + a_9) = m^9$；令$x = 0$，得$a_0 + a_2 + ·s + a_8 + a_1 + a_3 + ·s + a_9 = (2 + m)^9$。$\because (a_0 + a_2 + ·s + a_8)^2 - (a_1 + a_3 + ·s + a_9)^2 = 3^9$，$\therefore (a_0 + a_2 + ·s + a_8 + a_1 + a_3 + ·s + a_9) · [(a_0 + a_2 + ·s + a_8) - (a_1 + a_3 + ·s + a_9)] = 3^9$，$\therefore (2 + m)^9 · m^9 = (2m + m^2)^9 = 3^9$。即$2m + m^2 = 3$，解得$m = 1$或$m = -3$。故选A。

8. (高考快递·原创)$(\frac{9}{|x|} + 4|x| - 12)^5$ 的展开式中含 $x^4$ 的项的系数为-15 360.

答案： 8. -15 360 【解析】因为$\left(\frac{9}{|x|} + 4|x| - 12\right)^5 = \left[\left(\frac{3}{\sqrt{|x|}} - 2\sqrt{|x|}\right)^2\right]^5 = \left(\frac{3}{\sqrt{|x|}} - 2\sqrt{|x|}\right)^{10}$，所以通项公式为$T_{k + 1} = C_{10}^k · \left(\frac{3}{\sqrt{|x|}}\right)^{10 - k}(-2\sqrt{|x|})^k = (-2)^k · 3^{10 - k} · C_{10}^k |x|^{k - 5}$。令$k - 5 = 4$，得$k = 9$，则$x^4$的项的系数为$(-2) · 3 · C_{10}^9 = -15 360$。

9. 已知 $(1 - x + mx^2)^6$ 的展开式中 $x^4$ 的系数小于 90，则 $m$ 的取值范围为$(-5, 1)$.

答案： 9. $(-5, 1)$ 【解析】$(1 - x + mx^2)^6$的展开式中$x^4$项为$C_6^4(-x)^4 + C_6^2(-x)^2 · C_4^1(mx^2) + C_6^2(mx^2)^2 = (15 + 60m + 15m^2)x^4$，所以$15 + 60m + 15m^2 ＜ 90$，解得$-5 ＜ m ＜ 1$，即$m$的取值范围为$(-5, 1)$。

10. [2022·江苏徐州高三期末]若 $(x + 1 + \frac{a}{x})(x + \frac{2}{x})^5$

的

展开式中所有项的系数和为 243，则展开式中 $x^4$ 的系数是9.

答案： 10. 9 【解析】在$\left(x + 1 + \frac{a}{x}\right)\left(x + \frac{2}{x}\right)^5$中，令$x = 1$，得$(1 + 1 + a)(1 + 2)^5 = 243$，解得$a = -1$。$\left(x + \frac{2}{x}\right)^5$的通项公式为$T_{k + 1} = C_5^k x^{5 - k}(2x^{-1})^k = C_5^k · 2^k x^{5 - 2k}$。当$5 - 2k = 3$时，$k = 1$，$T_2 = C_5^1 · 2x^3 = 10x^3$；当$5 - 2k = 5$时，$k = 0$，$T_1 = C_5^0 x^5 = x^5$；当$5 - 2k = 4$时，$k = \frac{1}{2}$，不符合题意，舍去。所以$\left(x + 1 - \frac{1}{x}\right)\left(x + \frac{2}{x}\right)^5$展开式中$x^4$的系数为$10 × 1 + 1 × (-1) = 9$。

11. [2022·江苏盐城东沟中学高三月考]在 $(x + 1)^4 · (y + z)^6$ 的展开式中，所有项系数之和为1 024；展开式中系数最大项的系数为120.

答案： 11. 1 024 120 【解析】由题意可知所有项的系数和为$(1 + 1)^4(1 + 1)^6 = 2^{10} = 1 024$。$(x + 1)^4$的展开式中系数最大的项为$C_4^2 x^2 = 6x^2$，$(y + z)^6$的展开式中系数最大的项为$C_6^3 y^3 z^3 = 20y^3 z^3$，所以$(x + 1)^4(y + z)^6$展开式中系数最大项的系数为$120$。

12. 记 $f(x, y) = (x - \frac{y^2}{x} + 2y)(x + y)^n$.
(1) 若 $(x + y)^n$ 的展开式中第三项的二项式系数最大，求 $n$ 的值.
(2) 当 $n = 5$ 时.
① 求 $f(x, y)$ 的展开式中 $x^3y^3$ 的系数；
② 若 $f(1, y) = a_0 + a_1(1 - y) + a_2 · (1 - y)^2 + a_3(1 - y)^3 + ·s + a_{n + 2}(1 - y)^{n + 2}$，试求 $a_0 + a_1 + ·s + a_{n + 1} - a_{n + 2}$ 的值.

答案： 12. 【解】
(1)$(x + y)^n$的展开式中第三项的二项式系数为$C_n^2$。
由题意可得$\begin{cases} C_n^2 \geq C_n^1 \\ C_n^2 \geq C_n^3 \end{cases}$即$\begin{cases} \frac{n(n - 1)}{2} \geq n \\ \frac{n(n - 1)}{2} \geq \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6} \end{cases}$，
解得$3 \leq n \leq 5$。
又$n \in N_+$，所以$n = 3$或$n = 4$或$n = 5$，
所以$n$的值是3或4或5。
(2)当$n = 5$时，$f(x, y) = \left(x - \frac{y^2}{x} + 2y\right)(x + y)^5$。
①$f(x, y)$的展开式中$x^3 y^3$项可由$x$与$(x + y)^5$展开式中的$x^2 y^3$项相乘而得，
也可由$-\frac{y^2}{x}$与$(x + y)^5$展开式中的$x^4 y$项相乘而得，
还可由$2y$与$(x + y)^5$展开式中的$x^3 y^2$项相乘而得。
所以$f(x, y)$的展开式中$x^3 y^3$项为$x · C_5^3 x^2 y^3 + \left(-\frac{y^2}{x}\right) · C_5^1 x^4 y + 2y · C_5^2 x^3 y^2 = 25x^3 y^3$。
所以$f(x, y)$的展开式中$x^3 y^3$的系数是25。
②由题意可知$f(1, y) = (1 + 2y - y^2)(1 + y)^5 = a_0 + a_1(1 - y) + a_2(1 - y)^2 + a_3(1 - y)^3 + ·s + a_7(1 - y)^7$，
所以$f(1, 0) = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + ·s + a_7 = 1$。
$a_0 + a_1(1 - y) + a_2(1 - y)^2 + a_3(1 - y)^3 + ·s + a_7(1 - y)^7$按$y$展开的$y^7$的项是最高次项，只有一个，其系数为$-a_7$，
$(1 + 2y - y^2)(1 + y)^5$按$y$展开的$y^7$的项是最高次项，只有一个，其系数为$-1$。
所以$a_7 = 1$。
显然$a_0 + a_1 + ·s + a_{n + 1} - a_{n + 2}$即为$a_0 + a_1 + ·s + a_6 - a_7$，
所以$a_0 + a_1 + ·s + a_6 - a_7 = a_0 + a_1 + ·s + a_6 + a_7 - 2a_7 = f(1, 0) - 2a_7 = -1$。