《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教B版》

33. [2023·辽宁本溪高三模拟]某企业为检查一条流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的 $ 40 $ 件产品作为样本测出它们的长度（单位：mm），长度的分组区间为 $ (90, 95] $，$ (95, 100] $，$ (100, 105] $，$ (105, 110] $，$ (110, 115] $. 由此得到如图的频率分布直方图.

(1)在上述抽取的 $ 40 $ 件产品中任取 $ 2 $ 件，设 $ X $ 为长度超过 $ 105 $ mm 的产品数量，求 $ X $ 的分布列和数学期望；
(2)从该流水线上任取 $ 5 $ 件产品，设 $ Y $ 为长度超过 $ 105 $ mm 的产品数量，求 $ Y $ 的数学期望和方差.

答案：
33. 【解】 (破题关键：$X$服从参数为40，2，12的超几何分布，$Y$服从参数为5，$\frac{3}{10}$的二项分布)
(1)由题意可知，抽取的40件产品中，长度超过105 mm的产品数量为$40×(0.01 + 0.05)×5 = 12$（件）。
所以，随机变量$X$的可能取值为$0,1,2$，
则$P(X = 0)=\frac{\mathrm{C}_{28}^{2}}{\mathrm{C}_{40}^{2}}=\frac{63}{130}$，$P(X = 1)=\frac{\mathrm{C}_{28}^{1}\mathrm{C}_{12}^{1}}{\mathrm{C}_{40}^{2}}=\frac{28}{65}$，$P(X = 2)=\frac{\mathrm{C}_{12}^{2}}{\mathrm{C}_{40}^{2}}=\frac{11}{130}$，
所以随机变量$X$的分布列为
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所以$E(X)=0×\frac{63}{130}+1×\frac{28}{65}+2×\frac{11}{130}=\frac{3}{5}$。
(2)由题意可知，$Y\sim B\left(5,\frac{3}{10}\right)$，$\therefore E(Y)=5×\frac{3}{10}=1.5$，$D(Y)=5×\frac{3}{10}×\frac{7}{10}=1.05$。

34. [2023·湖南临澧一中高二期中]目前，我国近视人数多达 $ 7 $ 亿，青少年近视率居世界第一. 某中学抽查了 $ 60 $ 名学生的视力情况，按 $[4.0, 4.2)$，$[4.2, 4.4)$，$[4.4, 4.6)$，$[4.6, 4.8)$，$[4.8, 5.0)$，$[5.0, 5.2]$ 分组，制作成如图的频率分布直方图.

(1)为了作进一步的调查，从视力在 $[4.0, 4.4)$ 内的学生中随机抽取 $ 6 $ 人，若已知其中有 $ 2 $ 人的视力落在 $[4.0, 4.2)$ 内，求另外 $ 4 $ 人的视力均落在 $[4.2, 4.4)$ 内的概率；
(2)用样本频率估计总体概率，从全校学生中随机抽取 $ 2 $ 名学生，记视力落在区间 $[4.8, 5.2]$ 内的人数为 $ X $，落在区间 $[4.6, 5.0)$ 内的人数为 $ Y $，试求 $ \dfrac{E(X) + E(Y)}{E(X + Y)} $ 的值.

答案： 34. 【解】
(1)视力落在$[4.0,4.2)$内的人数为$60×0.25×0.2 = 3$，
视力落在$[4.2,4.4)$内的人数为$60×0.5×0.2 = 6$。
设事件$A$为抽取的6人中有2人的视力落在$[4.0,4.2)$内，
事件$B$为抽取的6人中有4人的视力落在$[4.2,4.4)$内，
则$P(B|A)=\frac{n(AB)}{n(A)}=\frac{\mathrm{C}_{3}^{2}\mathrm{C}_{6}^{4}}{\mathrm{C}_{3}^{2}\mathrm{C}_{6}^{4}+\mathrm{C}_{3}^{3}\mathrm{C}_{6}^{3}}=\frac{3×15}{3×15 + 20}=\frac{9}{13}$。
(2)随机抽取一名学生，视力落在区间$[4.8,5.2]$内的概率为$0.2×(1 + 1.5)=\frac{1}{2}$，故$X\sim B\left(2,\frac{1}{2}\right)$。
随机抽取一名学生，视力落在区间$[4.6,5.0)$内的概率为$0.2×(1.25 + 1)=\frac{9}{20}$，故$Y\sim B\left(2,\frac{9}{20}\right)$。
所以$E(X)+E(Y)=2×\frac{1}{2}+2×\frac{9}{20}=\frac{19}{10}$。
令$Z = X + Y$，则$Z$的所有可能取值为$0,1,2,3,4$。
易知学生视力落在$[4.0,4.6)$内的概率为$\frac{1}{4}$，落在$[4.6,4.8)\cup[5.0,5.2]$内的概率为$\frac{1}{4}+\frac{3}{10}=\frac{11}{20}$，落在$[4.8,5.0)$内的概率为$\frac{1}{5}$。
当$Z$的值为0时，学生视力落在$[4.0,4.6)$内，则$P(Z = 0)=\mathrm{C}_{2}^{2}\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$；
当$Z$的值为1时，一名学生的视力落在$[4.6,4.8)$或$[5.0,5.2)$内，另一名学生的视力落在$[4.0,4.6)$内，则$P(Z = 1)=\mathrm{C}_{2}^{1}×\frac{1}{4}×\frac{11}{20}=\frac{11}{40}$；
当$Z$的值为2时，一名学生的视力落在$[4.8,5.0)$内，另一名学生的视力落在$[4.0,4.6)$内，或均落在$[4.6,4.8)$或$[5.0,5.2)$内，或一名学生的视力落在$[4.6,4.8)$内，另一名学生的视力落在$[5.0,5.2)$内，则$P(Z = 2)=\mathrm{C}_{2}^{1}×\frac{1}{4}×\frac{1}{5}+\mathrm{C}_{2}^{2}\left(\frac{11}{20}\right)^{2}=\frac{161}{400}$；
当$Z$的值为3时，一名学生的视力落在$[4.6,4.8)$或$[5.0,5.2]$内，另一名学生的视力落在$[4.8,5.0)$内，则$P(Z = 3)=\mathrm{C}_{2}^{1}×\frac{11}{20}×\frac{1}{5}=\frac{11}{50}$；
当$Z$的值为4时，两名学生的视力均落在$[4.8,5.0)$内，则$P(Z = 4)=\mathrm{C}_{2}^{2}\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{1}{25}$。
所以，$E(Z)=0×\frac{1}{16}+1×\frac{11}{40}+2×\frac{161}{400}+3×\frac{11}{50}+4×\frac{1}{25}=\frac{19}{10}$，
故$\frac{E(X)+E(Y)}{E(X + Y)}=\frac{\frac{19}{10}}{\frac{19}{10}}=1$。
方法总结 对于随机变量$X,Y$，我们还有如下结论：$E(X + Y)=E(X)+E(Y)$；若$X,Y$相互独立，则$E(X· Y)=E(X)· E(Y)$。