《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教B版》

1. (多选)下列问题属于排列问题的有 (AD)

A.从甲、乙、丙三同学中选出两名分别担任正、副班长，共有多少种不同的选取方法
B.从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加志愿者活动，共有多少种不同的选取方法
C.平面上有五个点，任意三点不共线，这五个点最多可确定多少条直线
D.从 1，2，3，4 四个数字中任选两个组成一个两位数，共有多少个不同的两位数

答案： 1. AD 【解析】对于 A，因为两名同学担任的是正、副班长，所以是排列问题，故 A 符合题意；对于 B，因为两名同学参加的志愿者活动与顺序无关，所以不是排列问题，故 B 不符合题意；对于 C，从五个点中任取两个点，不涉及顺序问题，因此不是排列问题，故 C 不符合题意；对于 D，从四个数字中任取两个组成两位数，与顺序有关，是排列问题，故 D 符合题意. 选 AD.

2. $\frac{5!}{3!×2!}=$ (B)

A.8
B.10
C.15
D.20

答案： 2. B 【解析】$\frac{5!}{3!×2!}=\frac{5×4×3×2×1}{3×2×1×2×1}=10$. 故选 B.

3. [2022·福建三明清流一中高二月考]若 $A_{2n}^{2}=6A_{n}^{2}$，则 $n=$ (B)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 3. B 【解析】$\because A_{2n}^2 = 6A_n^2$，$\therefore 2n(2n - 1) = 6n(n - 1)$，即$n^2 - 2n = 0$，解得$n = 2$或$n = 0$（舍去）. 故选 B.

4. [2022·吉林长春第二实验中学高二期中]从 5 本不同的书中选出 3 本分别送 3 名同学每人 1 本，不同的方法总数是 (B)

A.10
B.60
C.243
D.15

答案： 4. B 【解析】由题意可知，不同的方法总数是$A_5^3 = 5×4×3 = 60$. 故选 B.

5. [2022·江苏南京六校联合体高二期中]2 名同学分别从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门，且 2 人选修的课程不同，则不同的选法共有 (B)

A.9 种
B.6 种
C.8 种
D.4 种

答案： 5. B 【解析】2 名同学分别从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门，且 2 人选修的课程不同，则不同的选法共有$A_3^2 = 6$（种）. 故选 B.

6. [2022·山东菏泽高二期末]将诗集《诗经》《唐诗三百首》、戏剧《牡丹亭》、四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》7 本书放在一排，下面结论正确的是 (C)

A.戏剧书放在正中间的不同放法有 7!种
B.诗集相邻的不同放法有 6!种
C.四大名著互不相邻的不同放法有 4!×3!种
D.四大名著不放在两端的不同放法有 6×4!种

答案： 6. C 【解析】对于 A，因为戏剧书只有 1 本，所以其余 6 本书可以全排列，共有$6!$种不同的放法，故 A 错误. 对于 B，诗集共 2 本，把 2 本诗集看成一个整体，有$6!$种不同的放法. 这 2 本诗集又可以交换位置，所以不同放法的总数为$2×6!$，故 B 错误. 对于 C，四大名著互不相邻，那只能在这 4 本书的 3 个空隙中放置其他书，共有$3!$种放法，这四本书又可以全排列，所以不同放法的总数为$4!×3!$，故 C 正确. 对于 D，四大名著可以在第 2 位至第 6 位这 5 个位置上任选 4 个位置放置，共有$A_5^4$种放法，这 4 本书放好后，其余 3 本书可以在剩下的 3 个位置上全排列，所以不同放法的总数为$A_5^4×3!$，故 D 错误. 选 C.

7. [2022·北京丰台高二期中]若从 0，2，4 中任取 2 个数字，从 1，3 中任取 1 个数字，则可以组成没有重复数字的三位数的个数为 (C)

A.18
B.24
C.28
D.32

答案： 7. C 【解析】根据题意，分两种情况讨论（从 0，2，4 中任取 2 个数字，分不含 0 和含 0 两种情况讨论）：第一种情况，从 0，2，4 中任取的 2 个数字中不含 0，其取法有 1 种，从 1，3 中任取 1 个数字，其取法有 2 种. 将选出的 3 个数字全排列，组成三位数，有$A_3^3 = 6$（种）情况，此时共有$2×6 = 12$（个）没有重复数字的三位数. 第二种情况，从 0，2，4 中任取的 2 个数字中含有 0，其取法有 2 种，从 1，3 中任取 1 个数字，其取法有 2 种，用选出的 3 个数字组成三位数，有$A_2^1A_2^2 = 4$（种）情况，此时共有$2×2×4 = 16$（个）没有重复数字的三位数. 综上可知，共有$12 + 16 = 28$（个）符合题意的三位数. 故选 C.

8. (多选)[2022·重庆朝阳中学高二期中]从 1，2，3，4，5，6 中任取 3 个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中 (CD)

A.偶数有 48 个
B.比 300 大的奇数有 48 个
C.个位和百位数字之和为 7 的有 24 个
D.能被 3 整除的数有 48 个

答案： 8. CD 【解析】对于 A，其个位数字为 2 或 4 或 6，有 3 种情况，在剩余的 5 个数字中任选 2 个，分别安排在百位和十位，有$A_5^2 = 20$（种）情况，所以共有$3×20 = 60$（个）三位偶数，故 A 不符合题意. 对于 B，若百位数字为 3 或 5，则有$2×2×4 = 16$（个）三位奇数；若百位数字为 4 或 6，则有$2×3×4 = 24$（个）三位奇数，所以符合题意的三位数共有$16 + 24 = 40$（个），故 B 不符合题意. 对于 C，个位和百位数字之和为 7 的有$\{1,6\}$，$\{2,5\}$，$\{3,4\}$，共 3 种情况，则符合题意的三位数有$3A_2^2A_4^1 = 24$（个），故 C 符合题意. 对于 D，能被 3 整除，则 3 个数字之和为 3 的倍数，有$\{1,2,3\}$，$\{1,2,6\}$，$\{1,3,5\}$，$\{1,5,6\}$，$\{2,3,4\}$，$\{2,4,6\}$，$\{3,4,5\}$，$\{4,5,6\}$，共 8 种情况，所以能被 3 整除的数有$8A_3^3 = 48$（个），故 D 符合题意. 选 CD.

9. [2022·福建莆田第一中学高二期中]在某场视频会议中，甲、乙、丙、丁四位专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙、丁必须排在一起，则四位专家的不同发言顺序共有 (C)

A.12 种
B.8 种
C.6 种
D.4 种

答案： 9. C 【解析】当甲排在第一位时，共有$A_2^2A_2^2 = 4$（种）发言顺序；当甲排在第二位时，共有$A_2^2 = 2$（种）发言顺序. 所以一共有$4 + 2 = 6$（种）不同的发言顺序. 故选 C.

10. 已知自然数 $x$ 满足 $3A_{x + 1}^{3}=2A_{x + 2}^{2}+6A_{x + 1}^{2}$，则 $x=$ (C)

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： 10. C 【解析】因为$3A_{x + 1}^3 = 2A_{x + 2}^2 + 6A_{x + 1}^2$，所以$3(x + 1)·x·(x - 1) = 2(x + 2)(x + 1) + 6(x + 1)x$. 整理，得$3x^3 - 8x^2 - 15x - 4 = 0$，即$(x + 1)(3x^2 - 11x - 4) = 0$. 由$x$是自然数，且$x + 1 \geq 3$，得$3x^2 - 11x - 4 = 0$，解得$x = -\frac{1}{3}$（舍去）或$x = 4$，所以$x = 4$. 故选 C.

11. [2023·辽宁大连二十四中高二期中]用 0，1，2，3，4 这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是 (A)

A.28
B.26
C.24
D.22

答案： 11. A 【解析】当夹在中间的偶数数字为 0 时，满足题意的五位数个数为$A_2^2A_3^3 = 12（$个）. 当夹在中间的偶数数字不为 0 时，将其与 1，3 看作一个整体，则有$A_2^1A_2^2 = 4（$种）情况，再将这个整体和另一个不为 0 的数字挑选一个排在首位，其余数字任意排序，共有$A_2^1A_2^2 =$