《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教B版》

1. [2023·山东滨州高二期中]袋中有大小相同质地均匀的 5 个白球、3 个黑球,从中任取 2 个,则可以作为随机变量的是 (B)

A.至少取到 1 个白球
B.取到白球的个数
C.至多取到 1 个白球
D.取到的球的个数

答案： 1.B 【解析】根据离散型随机变量的定义，能够一一列出的只能是B选项，其中A，C选项是事件，D选项取到球的个数是2个，A，C，D错误.故选B.

2. 下列结论正确的是 (C)

A.随机事件个数与随机变量一一对应
B.随机变量与区间一一对应
C.随机变量的取值是实数
D.随机变量与自然数一一对应

答案： 2.C 【解析】根据随机变量的定义知，随机变量的取值是实数，C正确；随机事件个数与随机变量不一定是一一对应的，A错误；离散型随机变量与区间不是一一对应的，B错误；连续型随机变量与自然数不是一一对应的，D错误.故选C.

3. 下列变量是不是随机变量？在随机变量中,哪些是离散型随机变量,哪些是连续型随机变量？
(1)某人上班途中共经过 5 个红绿灯路口,此人某天上班遇到红灯的次数；
(2)某地区今后每一年的人口的出生数；
(3)某单位全体员工体检时每人的血清转氨酶测定值；
(4)某水库某一时刻的水位.

答案： 3.【解】
(1)此人某天上班遇到红灯的次数是随机变量，且为离散型随机变量.
(2)某地区今后每一年的人口的出生数为随机变量，且为离散型随机变量.
(3)某单位全体员工体检时每人的血清转氨酶测定值是随机变量，且为连续型随机变量.
(4)某水库某一时刻的水位是随机变量，且为连续型随机变量.

4. [2022·山西朔州怀仁第一中学高二期中]袋中装有除颜色外其余均相同的 10 个红球、5 个黑球,每次任取一球,若取到黑球,则放入袋中,直到取到红球为止. 若抽取的次数为 $X$,则表示“放回 4 个球”的事件为 (B)

A.$X = 4$
B.$X = 5$
C.$X = 6$
D.$X\leqslant4$

答案： 4.B 【解析】由题意可知，若取到黑球，则将黑球放回，然后继续抽取，若取到红球，则停止抽取，所以“放回4个球”即前4次都是取到黑球，第5次取到了红球，故$ X = 5 $.选B.

5. [2022·上海闵行七宝中学高二期末]从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,设随机变量 $X$ 表示所选 3 人中女生的人数,则 $\{X\leqslant1\}$ 表示所选3人中至多有1名女生.

答案： 5.所选3人中至多有1名女生 【解析】$ \{X \leq 1\} $包含两种情况：$ \{X = 1\} $或$ \{X = 0\} $.故$ \{X \leq 1\} $表示所选3人中至多有1名女生.

6. 写出下列各随机变量的可能取值,并说明随机变量的取值所表示的随机试验的结果.
(1)将 10 个质地、大小一样的球装入袋中,球上依次编号 $1\sim10$,现从袋中任取 1 个球,被取出的球的编号为 $X$；
(2)将 15 个质地、大小一样的球装入袋中,其中 10 个红球、5 个白球,现从中任取 4 个球,其中红球的个数为 $X$；
(3)投掷两枚骰子,所得点数之和为 $X$.

答案： 6.【解】
(1)$ X $的可能取值为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，$ X = k(k = 1,2,·s,10) $表示取出$ k $号球.
(2)$ X $的可能取值为0，1，2，3，4，$ X = k $表示取出$ k $个红球，$ (4 - k) $个白球，其中$ k = 0,1,2,3,4 $.
(3)$ X $的可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，若以$ (i,j) $表示投掷甲、乙两枚骰子后骰子甲为$ i $点且骰子乙为$ j $点，则$ X = 2 $表示$ (1,1) $，$ X = 3 $表示$ (1,2) $，$ (2,1) $，$ X = 4 $表示$ (1,3) $，$ (2,2) $，$ (3,1) $，$ X = 5 $表示$ (1,4) $，$ (2,3) $，$ (3,2) $，$ (4,1) $，$ X = 6 $表示$ (1,5) $，$ (2,4) $，$ (3,3) $，$ (4,2) $，$ (5,1) $，$ X = 7 $表示$ (1,6) $，$ (2,5) $，$ (3,4) $，$ (4,3) $，$ (5,2) $，$ (6,1) $，$ X = 8 $表示$ (2,6) $，$ (3,5) $，$ (4,4) $，$ (5,3) $，$ (6,2) $，$ X = 9 $表示$ (3,6) $，$ (4,5) $，$ (5,4) $，$ (6,3) $，$ X = 10 $表示$ (4,6) $，$ (5,5) $，$ (6,4) $，$ X = 11 $表示$ (5,6) $，$ (6,5) $，$ X = 12 $表示$ (6,6) $.

7. 一次考试中,选择题每题 5 分,设某学生答对的选择题数为随机变量 $X$,选择题得分为随机变量 $Y$,已知 $P(Y\geqslant30)=0.6$,则 $P(X\lt6)$ 的值为 (D)

A.0.6
B.0.5
C.0.3
D.0.4

答案： 7.D 【解析】根据题意知$ Y = 5X $，所以$ X ＜ 6 $，即为$ 5X ＜ 30 $，即$ Y ＜ 30 $（将所求变量转化为已知变量的关系）.因为$ P(Y \geq 30) = 0.6 $，所以$ P(Y ＜ 30) = 0.4 $，所以$ P(X ＜ 6) = 0.4 $.故选D.

8. (高考快递·原创)设随机变量 $\xi$ 等可能地取 $1,2,3,4,·s,10$,且随机变量 $\eta = 2\xi - 1$,则 $P(\eta\lt6)=$ (A)

A.0.3
B.0.5
C.0.1
D.0.2

答案： 8.A 【解析】因为随机变量$ \xi $等可能地取1，2，3，4，$·s$，10，所以$ P(\xi = i) = 0.1(i = 1,2,3,·s,10) $，所以$ \eta = 2\xi - 1 $等可能地取1，3，5，7，$·s$，19，则$ P(\eta = j) = 0.1(j = 1,3,5,·s,19) $（利用已知条件，求出$ \eta $在不同取值的概率），所以$ P(\eta ＜ 6) = P(\eta = 1) + P(\eta = 3) + P(\eta = 5) = 0.3 $.故选A.