《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教B版》

1. (1) 把 6 本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少 1 本，有多少种分法？
(2) 由 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字组成没有重复数字的四位偶数有多少个？
(3) 某旅行社有导游 9 人，其中 3 人只会英语，4 人只会日语，其余 2 人既会英语，也会日语. 现从中选 6 人，其中 3 人担任英语导游，另外 3 人担任日语导游，则不同的选择方法有多少种？

答案： 1.【解】
(1)可以分为三类情况.
第一类,每人2本书,有$\mathrm{C}_{6}^{2}\mathrm{C}_{4}^{2}\mathrm{C}_{2}^{2}=90$(种)分法;
第二类,有1人分得1本书,1人分得2本书,剩余1人分得3本书,有$\mathrm{C}_{6}^{1}\mathrm{C}_{5}^{2}\mathrm{C}_{3}^{3}\mathrm{A}_{3}^{3}=360$(种)分法;
第三类,有2人各分得1本书,剩余1人分得4本书,有$\mathrm{C}_{6}^{4}\mathrm{A}_{3}^{3}=90$(种)分法.
所以一共有$90 + 360 + 90 = 540$(种)不同的分法.
(2)若个位数是0,则有$\mathrm{A}_{5}^{3}=60$(个)偶数.
若个位数是2或4,则有$\mathrm{C}_{2}^{1}$种选择方法,
然后从不含0的4个数中选一个放首位(特殊位置优先考虑,0不能在首位),有$\mathrm{C}_{4}^{1}$种选择方法.从剩余4个数中选2个排十位和百位,有$\mathrm{A}_{4}^{2}$种排法,此时共有$\mathrm{C}_{2}^{1}\mathrm{C}_{4}^{1}\mathrm{A}_{4}^{2}=96$(个)偶数.
所以四位偶数共有$60 + 96 = 156$(个).
(3)分三类.
第一类,若从只会日语的4人中选3人担任日语导游,
则需要从剩余的5人中选出3人担任英语导游.
所以不同的安排方法有$\mathrm{C}_{4}^{3}\mathrm{C}_{5}^{3}=40$(种).
第二类,若从只会日语的4人中选2人担任日语导游,
则需要先在既会英语又会日语的2人中选出1人担任日语导游,
再从剩余的4人中选出3人担任英语导游,
所以不同的安排方法有$\mathrm{C}_{4}^{2}\mathrm{C}_{2}^{1}\mathrm{C}_{4}^{3}=48$(种).
第三类,若从只会日语的4人中选1人担任日语导游,
则需要先在既会英语又会日语的2人中选出2人担任日语导游,再让只会英语的3人担任英语导游即可.
所以不同的安排方法有$\mathrm{C}_{4}^{1}\mathrm{C}_{3}^{3}=4$(种).
综上可知,不同的安排方法共有$40 + 48 + 4 = 92$(种).
水平诊断 此题第
(1)
(2)
(3)问用于检测知识与技能,知道“分组问题、数字排列问题、先选后排”是知识,会利用不同的方法解决与排列、组合相关的实际问题是技能.第
(1)问用于检测数学思想——分类讨论思想,通过对甲、乙、丙三人分得的不同的书本数量进行讨论,解决分书问题.第
(3)问的通过先从4个只会日语的人员中,选择人员担任日语导游,再去安排英语导游,来解决问题,用于检测基本活动经验.

2. [2022·江苏扬州高二期末]已知$(2x^{2}-\frac {1}{\sqrt {x}})^{n}$的展开式中，.
现在有以下三个条件：
条件①：第四项和第二项的二项式系数之比为$12:1$；
条件②：只有第六项的二项式系数最大；
条件③：其前三项的二项式系数的和等于 56.
请在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：
(1) 求展开式中所有二项式系数的和；
(2) 求展开式中的常数项.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

答案： 2.【解】
(1)选择条件①.
由题意可知$\mathrm{C}_{n}^{3}:\mathrm{C}_{n}^{1}=12:1$,即$\dfrac{n(n - 1)(n - 2)}{3×2×1}:n = 12:1$.
整理,得$n^{2}-3n - 70 = 0$,即$(n - 10)(n + 7)=0$.
解得$n = - 7$(舍去)或$n = 10$.
故展开式中所有二项式系数的和为$2^{10}=1024$.
选择条件②.
因为只有第6项的二项式系数最大,
所以$n$为偶数,且$\dfrac{n}{2}=5$,所以$n = 10$.
所以展开式中所有二项式系数的和为$2^{10}=1024$.
选择条件③.
因为其前三项的二项式系数的和等于56,
所以$\mathrm{C}_{n}^{0}+\mathrm{C}_{n}^{1}+\mathrm{C}_{n}^{2}=56$,即$1 + n + \dfrac{n(n - 1)}{2}=56$.
整理,得$n^{2}+n - 110 = 0$,即$(n + 11)(n - 10)=0$,
解得$n = - 11$(舍去)或$n = 10$.
所以展开式中所有二项式系数的和为$2^{10}=1024$.
(2)由题意,得$\left(2x^{2}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^{n}$的通项公式为$T_{k + 1}=$$\mathrm{C}_{10}^{k}(2x^{2})^{10 - k}\left(-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^{k}=\mathrm{C}_{10}^{k}· 2^{10 - k}· (-1)^{k}x^{20 - \frac{5}{2}k}$.
令$20 - \dfrac{5}{2}k = 0$,得$k = 8$.
所以展开式中的常数项为$T_{9}=\mathrm{C}_{10}^{8}· 2^{2}· (-1)^{8}=180$.
水平诊断 此题第
(1)
(2)问用于检测知识与技能,知道“二项式系数的性质、系数和、常数项”是知识,会利用二项式定理、通项公式计算是技能.第
(2)问用于检测数学思想——方程思想,通过二项式的通项,列出关于$k$的方程,求出$k$的值.第
(2)问通过通项公式求出常数项,用于检测基本活动经验.