《2025年1加1轻巧夺冠完美期末八年级数学上册人教版辽宁专版》

22. (12分)(营口期末)
把几个图形拼成一个新的图形,再通过图形面积的计算,常常可以得到一些有用的信息.如图1所示,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成9块,若图中①②都是剪成边长为$a$的大正方形,③④都是剪成边长为$b$的小正方形,剩下的都是剪成边长分别为$a,b$的小长方形.
(1)观察图1,可以发现多项式$2 a^{2}+5 a b+2 b^{2}$因式分解为(a+2b)(2a+b).
(2)如图1,若每块小长方形的面积为4,四个正方形的面积之和为34,试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和.
(3)类似地,利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式.如图2表示的是一个棱长为$x$的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体,请你根据图中图形的变化关系,写出一个因式分解形式的代数恒等式.

答案： 22.解：
(1)$(a + 2b)(2a + b)$ 【解析】$\because$题图1是一个长和宽分别为$(a + 2b)$，$(2a + b)$的大长方形，$\therefore$题图1中的大长方形面积为$(a + 2b)(2a + b)$，又$\because$题图1中的大长方形面积等于2个边长为$a$的正方形面积加上2个边长为$b$的正方形面积再加上5个长和宽分别为$a$，$b$的长方形面积，$\therefore 2a^2 + 5ab + 2b^2 = (a + 2b)(2a + b)$.
(2)由题意得$\begin{cases} ab = 4, \\ 2a^2 + 2b^2 = 34, \end{cases}$ $\therefore a^2 + b^2 = 17$，$\therefore (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 17 + 2 × 4 = 25$，$\therefore a + b = 5$(负值舍去)，$\therefore$图中所有裁剪线（虚线部分）长之和$= 2(a + 2b) + 2(2a + b) = 2a + 4b + 4a + 2b = 6(a + b) = 30$.
(3)根据长方体体积公式可知题又由题意可知，题图2右图的体积为$x(x + 2)(x - 2)$题图2右图的体积还等于棱长为$x$的正方体体积减去一个长、宽、高分别为$x$，$2$，$2$的长方体，即$x^3 - x · 2 · 2 = x^3 - 4x$，$\therefore x^3 - 4x = x(x + 2)(x - 2)$.