《2025年1加1轻巧夺冠完美期末八年级数学上册人教版辽宁专版》

20. (8分)(抚顺新宾期末)
小明在学习中遇到这样一个问题:如图1,$\angle MON=90^{\circ}$,点$A$,$B$分别在$OM$,$ON$上运动(不与点$O$重合).
已知$BC$是$\angle ABN$的平分线,$BC$的反向延长线与$\angle BAO$的平分线交于点$D$.
(1)①若$\angle BAO=70^{\circ}$,求$\angle D$的度数.
②猜想$\angle D$的度数是否随$A$,$B$的运动而发生变化?并说明理由.
(2)如图2,若$\angle ABC=\frac{1}{3}\angle ABN$,$\angle BAD=\frac{1}{3}\angle BAO$,求$\angle D$的度数.
(3)在图1的基础上,如果$\angle MON=\alpha$,其余条件不变,随着点$A$,$B$的运动(如图3),请用含$\alpha$的代数式表示$\angle D$的度数.

答案： 20.解:
(1)①
∵∠BAO = 70°，AD平分∠BAO，
∴∠BAD = 35°，
∵∠MON = 90°，
∴∠ABN = 70° + 90° = 160°，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC = 80°，
∵∠D + ∠BAD = ∠ABC，
∴∠D = 45°.
②不变化，理由如下:
∵AD平分∠BAO，BC平分∠ABN，
∴∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAO，∠ABC = $\frac{1}{2}$∠NBA，
∵∠D + ∠BAD = ∠ABC，
∴∠D = ∠ABC - ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠NBA - $\frac{1}{2}$∠BAO = $\frac{1}{2}$(∠NBA - ∠BAO) = $\frac{1}{2}$∠MON，
∵∠MON = 90°，
∴∠D = 45°，
∴∠D的度数不发生变化.
(2)由
(1)②知∠D = ∠ABC - ∠BAD，
∵∠ABC = $\frac{1}{3}$∠ABN，∠BAD = $\frac{1}{3}$∠BAO，
∴∠D = $\frac{1}{3}$∠ABN - $\frac{1}{3}$∠BAO = $\frac{1}{3}$(∠ABN - ∠BAO) = $\frac{1}{3}$∠MON，
∵∠MON = 90°，
∴∠D = 30°.
(3)
∵AD平分∠BAO，BC平分∠ABN，
∴∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAO，∠ABC = $\frac{1}{2}$∠NBA，
∵∠D + ∠BAD = ∠ABC，
∴∠D = ∠ABC - ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠NBA - $\frac{1}{2}$∠BAO = $\frac{1}{2}$(∠NBA - ∠BAO) = $\frac{1}{2}$∠MON，
∵∠MON = α，
∴∠D = $\frac{1}{2}$α.