《2025年1加1轻巧夺冠完美期末八年级数学上册人教版辽宁专版》

22. (12分)
材料一:把一个自然数的个位数字截去,再用余下的数减去个位数的2倍,如果差为7的倍数,则原数能被7整除.如果差太大不易看出是否为7的倍数,可重复上述“截尾、倍大、相减、验差”的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断392是否为7的倍数的过程如下:$ 39-2 × 2=35 $,$ 35 ÷ 7=5 $,所以,392是7的倍数.又例如,判断8 638是否为7的倍数的过程如下:$ 863-8 × 2=847 $,$ 84-7 × 2=70 $,$ 70 ÷ 7=10 $,所以,8 638是7的倍数.
材料二:若一个四位自然数$ n $满足千位与个位相同,百位与十位相同,我们称这个数为“对称数”.将“对称数”$ n $的前两位与后两位交换位置得到一个新的“对称数”$ n^{\prime} $,记$ F(n)=\frac{n-n^{\prime}}{99} $.例如$ n=3113 $,$ n^{\prime}=1331 $,$ F(3113)=\frac{3113-1331}{99}=18 $.
(1)请用材料一的方法判断6 909与367能不能被7整除.
(2)若$ m $,$ p $是“对称数”,其中$ m=\overline{a b b a} $,$ p=\overline{c a a c}(1 \leq b＜a \leq 9 $,$ 1 \leq c＜a \leq 9 $且$ a $,$ b $,$ c $均为整数).若$ m $能被7整除,且$ F(m)-F(p)=36 $,求$ p $的值.

答案： 22.解:
(1)
∵690 - 9×2 = 672，67 - 2×2 = 63，63÷7 = 9，
∴6909是7的倍数；
∵36 - 7×2 = 22，22÷7 = 3……1，
∴367不是7的倍数.
(2)
∵m能被7整除，
∴100a + 10b + b - 2a = 98a + 11b能被7整除，
∴b = 7，
∴a = 8或9，
∴F(m) = $\frac{1000a + 100b + 10a + a - 1000b - 100a - 10a - b}{99}$ = 9(a - b)，F(p) = $\frac{1000c + 100a + 10a + c - 1000a - 100c - 10c - a}{99}$ = 9(c - a)，
∴9(a - b) - 9(c - a) = 36，
∴2a - c = 11.当a = 8时，c = 5，5 ＜ 8，
∴p = 5885；当a = 9时，c = 7，7 ＜ 9，
∴p = 7997.
综上所述，p的值为5885或7997.