《2025年1加1轻巧夺冠完美期末八年级数学上册人教版辽宁专版》

23. (13分)
如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = BC$,直线$MN$经过点$C$,$AD\perp MN$于点$D$,$BE\perp MN$于点$E$.
(1)如图1,当$A,B$两点在直线$MN$的同侧时,探究线段$AD,BE$和$DE$的数量关系,并说明理由.
(2)如图2,当$A,B$两点在直线$MN$的两侧时,探究线段$AD,BE$和$DE$的数量关系,并说明理由.
(3)如图3,在(2)的条件下,点$K$在$BE$的延长线上,连接$AK$,使$\angle AKB = 135^{\circ}$,连接$CK,AE$.若$\triangle BCK$的面积为16,$\triangle AED$的面积为6,请直接

写

出

$EK$的长.

答案：
23.解:
(1)DE=AD+BE，理由如下:
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，又
∵AC=BC，
∴△ACD≌△CBE(AAS)，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DE=CE+CD，
∴DE=AD+BE.
(2)DE=BE−AD，理由如下:
∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ACD=∠ACD +∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，又
∵AC=BC，∠CEB=∠ADC=90°，
∴△ACD≌△CBE(AAS)，
∴AD=CE，BE=CD，
∴DE=CD−CE=BE−AD.
(3)如答图，过点K作KQ⊥AD于点Q，
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴AD//BE，即AD//BK，
∴∠AKB+∠KAD=180°，
∵∠AKB=135°，
∴∠KAQ=45°，
∵∠AQK=90°，
∴△AQK是等腰直角三角形，
∴AQ=KQ，设AQ=x，QD=y，则KQ=x，同理
(2)得△CAD≌△BCE(AAS)，
∴AD=CE，CD=BE，
∵∠KQD=∠QDE=∠DEK=90°，
∴四边形DQKE是矩形，
∴EK=DQ=y，DE=KQ=x，
∴BE=CD=CE+DE=x +y+x=2x+y，BK=BE+EK=2x+y+y=2x +2y，
∵△BCK的面积为16，△AED的面积为6，
∴$\frac{1}{2}$BK·CE=16，$\frac{1}{2}$AD·DE=6，即$\frac{1}{2}(2x +2y)(x + y)=16$，$\frac{1}{2}x(x + y)=6$，解得x=3，y=1，
∴EK=1.