《2025年1加1轻巧夺冠完美期末八年级数学上册人教版辽宁专版》

23. (13分)(大连沙河口期末)
在数学活动课上,李老师给出如下的问题:
如图1,已知$ \angle A B C=60^{\circ} $,$ B A=B C $,过点$ B $作射线$ l $,点$ E $在$ \angle A B C $的内部,点$ A $和点$ E $关于$ l $对称,$ C E $交$ l $于点$ D $,连接$ A D $.证明:$ D A+D C=D B $.
同学们根据问题进行小组合作,下面是第一小组的同学分享的解题过程:
小红:除已知所给相等的边和角之外,我们小组还推理得到$ \angle A D B=\angle E D B=60^{\circ} $.
小鹏:从结论出发可以“截”较长的线段,本题转化为证明两条线段相等的问题.如图2,在$ D B $上截取$ D F=D A $,再证明$ B F=C D $.
小亮:要证明$ B F=C D $,观察图形选取“证明这两条线段所在的三角形全等”的方法.如图3,连接$ A F $,以$ \triangle A B F $为目标构造与之全等的三角形.
小明:与小鹏的想法类似,但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法.如图4,延长$ A D $到点$ G $,使$ D G=D C $,连接$ C G $,再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明.
(1)请你推理出小红的结论.
(2)根据第一小组同学们的解题思路,任选一种方法证明:$ D A+D C=D B $.
(3)李老师:小鹏和小明利用“截长补短”的方法,将“求证一条线段等于两条线段和的问题”转化为“求两条线段相等的问题”,这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决,转化思想在数学学习中无处不在.
请同学们反思后解决下面的问题:
如图5,$ \angle A B C=30^{\circ} $,$ B C=6 $,$ D $是$ \angle A B C $的平分线上一动点,$ B D $的垂直平分线交射线$ B A $于点$ E $,求$ C D+\frac{1}{2} B E $的最小值.

答案：
23.
(1)证明:由对称得BA = BE，∠ADB = ∠EDB，∠ABD = ∠EBD，
∵BA = BC，
∴BE = BC，
∴∠BEC = ∠C = $\frac{1}{2}$(180° - ∠CBE)，设∠ABD = ∠EBD = α，
∴∠CBE = 60° - 2α，
∴∠BEC = ∠C = $\frac{1}{2}$[180° - (60° - 2α)] = 60° + α，
∵∠BEC = ∠EBD + ∠EDB = α + ∠EDB = 60° + α，
∴∠ADB = ∠EDB = 60°.
(2)选小亮的方法证明:如答图1，在DB上截取DF = DA，连接AF，AC，
∵∠ADB = ∠EDB = 60°，∠ABC = 60°，BA = BC，
∴△ADF是等边三角形，△ABC是等边三角形，
∴AB = AC，∠BAC = 60°，∠DAF = 60°，AF = AD，
∴∠BAF = ∠CAD，
∴△ABF≌△ACD(SAS)，
∴FB = DC，
∴DA + DC = DF + FB = DB.
选小明的方法证明:如答图2，延长AD到点G，使DG = DC，连接CG，AC，
∵∠ADB = ∠EDB = 60°，
∴∠CDG = 60°，
∴△CDG是等边三角形，
∴∠G = 60°，CD = CG，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC = AC，∠BCA = 60°，
∴∠BCD = ∠ACG，
∴△BCD≌△ACG(SAS)，
∴DB = GA，
∴DB = DA + DG = DA + DC.
(3)解:如答图3，过点D作DH⊥AB于点H，
∵∠ABC = 30°，D是∠ABC的平分线上一动点，
∴∠ABD = ∠CBD = 15°，
∵BD的垂直平分线交射线BA于点E，
∴DE = BE，
∴∠EBD = ∠EDB = 15°，
∴∠AED = 30°，
∴DH = $\frac{1}{2}$DE = $\frac{1}{2}$BE，
∴CD + $\frac{1}{2}$BE = CD + DH，根据两点之间线段最短，当C，D，H三点共线时CD + $\frac{1}{2}$BE有最小值，
∵∠ABC = 30°，BC = 6，
∴CH = CD + DH = $\frac{1}{2}$BC = 3，即CD + $\frac{1}{2}$BE的最小值为3.