《2025年1加1轻巧夺冠完美期末八年级数学上册人教版辽宁专版》

21. (8分)(大连西岗期末)
在平面直角坐标系$xOy$中,点$A$的坐标为$(0,4)$,点$B$的坐标为$(4,0)$,动点$P$的坐标为$(m,0)(-4＜m＜4)$,$M$,$N$分别为点$P$关于直线$AB$,$OA$的对称点,连接$AM$,$AN$.
(1)如图1,当$0＜m＜4$时,求$\angle MAN$的度数.
(2)如图2,当$-4＜m＜0$时,是否存在点$P$,使得$\frac{BM}{BN}=3$?若存在,求点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)当$-4＜m＜0$时,四边形$ANBM$的面积是否随点$P$的运动而改变?若不变,请求出四边形$ANBM$的面积;若改变,请描述四边形$ANBM$的面积随点$P$运动的变化规律.

答案：
21.解:
(1)
∵点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，
∴OA = OB = 4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO = ∠ABO = 45°，如答图1，连接AP，PM，由对称的性质知O为PN的中点，AB为MP的垂直平分线，AN = AP，
∴△ANP为等腰三角形，
∴∠NAO = ∠OAP，同理可证∠PAB = ∠MAB，
∴∠MAN = ∠NAO + ∠OAP + ∠PAB + ∠BAM = 2∠OAB = 90°.

(2)当 - 4＜m＜0时，存在点P，使得$\frac{BM}{BN}$ = 3，理由如下:
∵M为点P关于直线AB的对称点，
∴∠ABO = ∠ABM = 45°，
∴∠MBO = ∠ABO + ∠ABM = 2∠ABO = 90°，如答图2，连接MP，由
(1)知点B在PM的垂直平分线上，点A在PN的垂直平分线上，
∴PB = BM，PO = ON，设BN的长为x，则BM的长为3x，ON的长为4 - x，
∴PO = ON = 4 - x，
∵PB = BM = PO + BO，
∴3x = 4 - x + 4，解得x = 2，
∴PO = 4 - x = 2，
∴点P的坐标为( - 2,0).

(3)当 - 4＜m＜0时，四边形ANBM的面积不随点P的运动而改变，如答图2，由
(1)知点B在PM的垂直平分线上，点A在PN的垂直平分线上，
∴PB = BM，PO = ON，设ON的长为x，
∴PO = ON = x，
∴BN = OB - ON = 4 - x，
∴BM = PB = OB + OP = 4 + x，
∵四边形ANBM的面积 = 梯形AOBM的面积 - 三角形AON的面积 = $\frac{1}{2}$(AO + BM)·OB - $\frac{1}{2}$AO·ON = $\frac{1}{2}$(4 + 4 + x)×4 - $\frac{1}{2}$×4x = 16 + 2x - 2x = 16，即当 - 4＜m＜0时，四边形ANBM的面积不随点P的运动而改变.