《2025年1加1轻巧夺冠完美期末八年级数学上册人教版辽宁专版》

21. （8分）（大连高新期末）
在$ \triangle ABC $中，$ AB = AC $，$ \angle BAC = 90^{\circ} $，在$ \triangle ADE $中，$ AD = AE $，$ \angle DAE = 90^{\circ} $，点$ D $在边$ BC $上，点$ E $在$ AD $的右侧，连接$ CE $.
（1）如图1，求证：$ EC\perp BC $.
（2）过点$ A $作$ AF\perp BC $于点$ F $.
①如图2，当点$ D $在线段$ CF $上时，求证：$ CE = CD + 2DF $.
②如图3，当点$ D $在线段$ BF $上时，探究线段$ CD $，$ CE $和$ DF $之间的数量关系.

答案：
21.
(1)证明:
∵AB=AC,∠BAC=90°,AD=AE,∠DAE=90°,
∴△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°,
∵∠BAD=90°−∠DAC=∠CAE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠B=∠ACE=45°,
∴∠BCE=∠ACE+∠ACB=90°,
∴EC⊥BC.
(2)①证明:在BF上截取BG=CD,连接AG,如答图，
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB=45°,
∴△ABG≌△ACD(SAS),
∴AG=AD,
∵AF⊥BC,
∴GF=DF,
∴GD=2DF,由
(1)知△ABD≌△ACE,
∴BD=CE=BG+GD=CD+2DF.
②解:CD=CE+2DF,理由如下:
∵AB=AC,AF⊥BC,
∴BF=CF,由
(1)知△ABD≌△ACE,
∴BD=CE,
∴CE=BD=BF−DF=CF−DF=CD−DF−DF=CD−2DF,
∴CD=CE+2DF.