《2025年1加1轻巧夺冠完美期末八年级数学上册人教版辽宁专版》

22. (12分)
通过对同一面积的不同表达和比较来理解整式乘法公式是常见的办法.如图1,边长为$(a + b)$的大正方形可分割成两个较小的正方形和两个大小相同的长方形,如图2,且在图1到图2的分割过程中,面积没有变化.据此解决下列问题.
(1)若将图1中的大正方形看作一个整体,则它的面积是$(a + b)^{2}$(用含$a$,$b$的式子表示).
(2)图2中4个部分的面积之和是$a^{2} + 2ab + b^{2}$(用含$a$,$b$的式子表示).
(3)因此,可以得到等式:$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$.
(4)简便计算:$3.14^{2} + 6.28 × 6.86 + 6.86^{2}$.
(5)若图2中的长方形的长$(b)$与宽$(a)$的值分别为$a = 12 - m$,$b = m - 3$,且满足$(12 - m)(m - 3) = 18$,请求出$(12 - m)^{2} + (m - 3)^{2}$的值.

答案： 22.解：$(1)(a + b)^{2}$
$(2)a^{2} + 2ab + b^{2}$
$(3)(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
(4)原式$ = 3.14^{2} + 2×3.14×6.86 + 6.86^{2} = (3.14 + 6.86)^{2} = 100.$
(5)
∵a = 12 - m，b = m - 3，
∴a + b = 12 - m + m - 3 = 9，
∵(12 - m)(m - 3) = 18，
∴ab = 18，
∴$(12 - m)^{2} + (m - 3)^{2} = a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab = 9^{2} - 2×18 = 81 - 36 = 45.$