《2025年1加1轻巧夺冠完美期末八年级数学上册人教版辽宁专版》

21. (8分)(大连甘井子期末)
2024年中央一号文件强调"强化农业科技支撑".为充分发挥科技生产力对农业发展的作用,某地与农业大学合作开发小麦试验田,并利用机械化播种、收割小麦.
(1)现有$A,B$两种小麦播种机,$A$型播种机比$B$型播种机每小时多播种$3 \mathrm{hm}^{2}$,$A$型播种机播种$90 \mathrm{hm}^{2}$所用时间与$B$型播种机播种$60 \mathrm{hm}^{2}$所用时间相等,两种播种机每小时分别播种多少$\mathrm{hm}^{2}$小麦?
(2)如图,"丰收1号"小麦的试验田是边长为$a \mathrm{~m}(a＞1)$的正方形去掉一个边长为$1 \mathrm{~m}$的正方形蓄水池后余下的部分."丰收2号"小麦的试验田是边长为$(a-1) \mathrm{m}$的正方形.两块试验田的小麦都收获了$500 \mathrm{~kg}$.
①哪种小麦的单位面积产量高?
②请直接写出高的单位面积产量是低的单位面积产量的$\frac{a+1}{a-1}$倍(用含$a$的代数式表示).
(3)一台小麦收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍,用这台收割机收割$10 \mathrm{hm}^{2}$小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用$1 \mathrm{~h}$,这台收割机每小时收割多少$\mathrm{hm}^{2}$小麦?

答案： 21.解：
(1)设$A$型播种机每小时播种$x hm^2$小麦，则$B$型播种机每小时播种$(x - 3) hm^2$小麦，根据题意得$\frac{90}{x} = \frac{60}{x - 3}$，解得$x = 9$，经检验，$x = 9$是原方程的解，则$x - 3 = 9 - 3 = 6$.
答：$A$型播种机每小时播种$9 hm^2$小麦，$B$型播种机每小时播种$6 hm^2$小麦.
(2)①“丰收1号”小麦试验田单位面积产量为$\frac{500}{a^2 - 1} = \frac{500}{(a + 1)(a - 1)}(kg/m^2)$，“丰收2号”小麦试验田单位面积产量为$\frac{500}{(a - 1)^2} = \frac{500}{(a - 1)(a - 1)}$，$\because a + 1 ＞ a - 1$，$\therefore \frac{500}{(a + 1)(a - 1)} ＜ \frac{500}{(a - 1)(a - 1)}$，$\therefore$“丰收2号”小麦试验田单位面积产量高.
②$\because \frac{500}{(a - 1)^2} ÷ \frac{500}{(a + 1)(a - 1)} = \frac{a + 1}{a - 1}$，$\therefore$高的单位面积产量是低的单位面积产量的$\frac{a + 1}{a - 1}$倍.
(3)设一个农民每小时收割$y hm^2$小麦，则这台收割机每小时收割$150y hm^2$小麦，根据题意得$\frac{10}{100y} - 1 = \frac{10}{150y}$，解得$y = \frac{1}{30}$，经检验，$y = \frac{1}{30}$是原方程的解，则$150y = 150 × \frac{1}{30} = 5$.
答：这台收割机每小时收割$5 hm^2$小麦.