《2025年1加1轻巧夺冠完美期末八年级数学上册人教版辽宁专版》

22. (12分)(抚顺望花期末)
通常情况下,通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积,可以得到一个恒等式.如图1,在边长为$a$的正方形中剪掉一个边长为$b$的小正方形$(a ＞ b)$,把余下的部分剪开拼成一个长方形(如图2),图1中阴影部分面积可表示为$a^{2}-b^{2}$,图2中阴影部分面积可表示为$(a + b)(a - b)$,因为两个图中的阴影部分面积是相同的,所以可得到等式:$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$.图3是一个长为$2a$、宽为$2b$的长方形,沿图中虚线剪开平均分成四个小长方形,然后按图4的形状拼成一个正方形.
(1)观察图3,图4.
①请写出图4中阴影部分面积.
②请你写出三个式子$(a + b)^{2}$,$(a - b)^{2}$,$ab$之间的关系.
(2)已知$a - b = 5$,$ab = 3$,请求出$(a + b)^{2}$的值.
(3)如图5,正方形$ABCD$和正方形$BEFG$的边长分别为$a,b(a ＞ b)$.若$a + b = 8$,$a - b = 6$,请求出图中的阴影部分面积$S$.

答案： 22.解:
(1)阴影部分的面积=$(a + b)^{2}-4ab=(a - b)^{2}$.
②$(a + b)^{2}-4ab=(a - b)^{2}$.
(2)
∵a - b=5，ab=3，
∴$(a + b)^{2}=(a - b)^{2}+4ab=25 + 12=37$.
(3)a + b=8，a - b=6，$(a + b)^{2}-(a - b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab - a^{2}-b^{2}+2ab=4ab=8^{2}-6^{2}=28$，
∴ab=7，$S=\frac{1}{2}ab=\frac{7}{2}$.