《2025年1加1轻巧夺冠完美期末八年级数学上册人教版辽宁专版》

19. (8分)(抚顺东洲期末)
在四边形$ABCD$中,$\angle A = 100^{\circ}$,$\angle B = 120^{\circ}$,$E$,$F$分别是边$AD$,$BC$上的点,$P$是一动点,连接$PE$,$PF$,令$\angle PED = \angle 1$,$\angle PFC = \angle 2$,$\angle EPF = \angle \alpha$.
(1)如图1,若点$P$在线段$CD$上运动,试探究$\angle 1 + \angle 2$与$\angle \alpha$之间的关系,并说明理由.
(2)如图2,若点$P$在线段$DC$的延长线上运动,试探究$\angle 1$,$\angle 2$与$\angle \alpha$之间的关系,并说明理由.
(3)若点$P$运动到四边形$ABCD$的内部,在备用图中画出此时的图形,试探究此时$\angle 1$,$\angle 2$和$\angle \alpha$之间的关系.

答案：
19.解：
(1)∠1 + ∠2 = 40° + ∠α，理由如下：在FPE中，∠A + ∠B + (180° - ∠2) + ∠α + (180° - ∠1) = 540°，
∵∠A = 100°，∠B = 120°，
∴∠1 + ∠2 = 40° + ∠α.
(2)∠1 - ∠2 = 40° + ∠α，理由如下：如答图1，记PE与BC的交点为H，由题意知∠BHE = ∠2 + ∠α，
∵∠A + ∠B + ∠BHE + (180° - ∠1) = 360°，
∴100° + 120° + ∠2 + ∠α + (180° - ∠1) = 360°，即∠1 - ∠2 = 40° + ∠α.

(3)如答图2，在五边形ABFPE中，∠A + ∠B + (180° - ∠2) + ∠α + (180° - ∠1) = 540°，
∵∠A = 100°，∠B = 120°，
∴∠1 + ∠2 = 40° + ∠α.