《2025年1加1轻巧夺冠完美期末八年级数学上册人教版辽宁专版》

22. （12分）（大连高新期末）
把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“$ a^{2}\geq 0 $”这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法. 配方法在今后的学习中有着广泛的应用.
例如：求$ a^{2}+4a + 5 $的最小值.
解：$ a^{2}+4a + 5 = a^{2}+4a + 2^{2}-2^{2}+5=(a + 2)^{2}+1 $，$ \because (a + 2)^{2}\geq 0 $，$ \therefore (a + 2)^{2}+1\geq 1 $，所以当$ (a + 2)^{2}=0 $时，即当$ a = - 2 $时，$ a^{2}+4a + 5 $有最小值，最小值为$ 1 $.
（1）当$ x $为何值时，代数式$ x^{2}-6x + 7 $有最小值，最小值为多少？
（2）如图1是一组邻边长分别为$ 7 $，$ 2a + 5 $的长方形，其面积为$ S_{1} $；如图2是边长为$ a + 6 $的正方形，面积为$ S_{2} $. $ a\gt 0 $，请比较$ S_{1} $与$ S_{2} $的大小，并说明理由.
（3）如图3，物业

公

司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度为$ 52 $米的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地$ ABCD $，且边$ CD $上留两个$ 1 $米宽的小门，设$ BC $的长为$ x $米，当$ x $为何值时，长方形场地$ ABCD $的面积最大？最大值是多少？

答案： 22.解:
(1)x²−6x+7=x²−6x+9−2=(x−3)²−2,
∵(x−3)²≥0,
∴(x−3)²−2≥−2,
∴当(x−3)²=0时,即当x=3时，x²−6x+7有最小值，最小值为−2.
(2)S₂≥S₁,理由如下:S₁=7(2a+5)=14a+35,S₂=(a+6)²=a²+12a+36,S₂−S₁=(a²+12a+36)−(14a+35)=a²+12a+36−14a−35=a²−2a+1=(a−1)².当a=1时,(a−1)²=0,此时S₂=S₁;当a≠1时，(a−1)²＞0,此时S₂＞S₁.综上所述，S₂≥S₁.
(3)BC的长为x米,设四边形ABCD的面积为S,则CD=52−3x+2=(54−3x)米,则S=x(54−3x)=−3x²+54x=−3(x²−18x+81−81)=−3(x−9)²+243,所以当x=9时，S有最大值243.