《2025年初中同步练习册分层卷九年级数学上册人教版》

16. (14分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,AB= 4,PC,PD是⊙O的两条切线,C,D为切点.
(1)如图(1),求⊙O的半径；
(2)如图(1),若E是BC的中点,连接PE,求PE的长度；
(3)如图(2),若M是边BC上任意一点(不含点B,C),以M为直角顶点,在BC的上方作∠AMN= 90°,交直线CP于点N.求证：AM= MN.

答案：

(1)解：如图
(1)，连接BD.
∵四边形ABCD是$\odot O$的内接正方形，∠BAD=90°，
∴BD为$\odot O$的直径.在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD=4，
∴BD=$\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$.
∴$\odot O$的半径为$2\sqrt{2}$.
(2)解：如图
(1)，连接OE，OC，OP.
∵PC，PD是$\odot O$的两条切线，C，D为切点，
∴∠ODP=∠OCP=90°.
∵四边形ABCD是$\odot O$的内接正方形，
∴∠DOC=90°，OD=OC.
∴四边形DOCP是正方形.
∴OP=$\sqrt{OD^2+PD^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=4$，∠POC=45°.
∵E是BC的中点，
∴OE⊥BC，EC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}×4=2$，OE=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}×4=2$.
∴∠EOC=45°.
∴∠EOP=90°.在Rt△OPE中，∠EOP=90°，OE=2，OP=4，
∴PE=$\sqrt{OE^2+OP^2}=2\sqrt{5}$.
(3)证明：如图
(2)，在AB上截取AF=MC，连接FM，OC，OD.
∵AB=BC，
∴BF=BM.
∵∠B=90°，
∴∠BFM=∠BMF=45°.
∴∠AFM=135°.又
∵在正方形DOCP中，∠DCN=45°，
∴∠MCN=135°=∠AFM.
∵∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠CMN=90°.
∵∠B=90°，
∴∠AMB+∠BAM=90°.
∴∠BAM=∠CMN.
∴△AFM≌△MCN(ASA).
∴AM=MN.

17. (4分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AC是⊙O的直径,点P在⊙O上.若∠ACB= 40°,则∠BPC的度数是( )
[A] 40° [B] 45° [C] 50° [D] 55°

答案： C

18. (4分)如图,在四边形材料ABCD中,AD//BC,∠A= 90°,AD= 9 cm,AB= 20 cm,BC= 24 cm.现用此材料截出一个面积最大的圆形模板,则此圆的半径是( )
[A] $\frac{110}{13}$ cm [B] 8 cm [C] $6\sqrt{2}$ cm [D] 10 cm

答案： B