《2025年初中同步练习册分层卷九年级数学上册人教版》

19. (8 分)已知$x = 2是关于x的方程x^{2}-(m + 4)x + 4m = 0$的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形$ABC$的两条边长.求：
(1)$m$的值；
(2)$\triangle ABC$的周长.

答案： 解:
(1)把$x = 2$代入方程$x^{2}-(m + 4)x + 4m = 0$，得$4 - 2(m + 4)+4m = 0$，解得$m = 2$.
(2)方程化为$x^{2}-6x + 8 = 0$，
　　解得$x_{1}=2$，$x_{2}=4$.
　　$\because 2 + 2 = 4$，
　　$\therefore$等腰三角形ABC的腰长为4，底边长为2.$\therefore\triangle ABC$的周长为$4 + 4 + 2 = 10$.

20. (10 分)已知关于$x的一元二次方程x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0$.
(1)求证：无论$m$取何值,方程都有两个不等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为$x_{1}$,$x_{2}$,且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2} = 9$,求$m$的值.

答案：
(1)证明:$x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0$，
　　这里$a = 1$，$b = -(m + 2)$，$c = m - 1$，
　　$\Delta = b^{2}-4ac$
　　$=[-(m + 2)]^{2}-4×1×(m - 1)$
　　$=m^{2}+4m + 4 - 4m + 4$
　　$=m^{2}+8$.
　　$\because m^{2}\geqslant0$，$\therefore\Delta＞0$.
　　$\therefore$无论$m$取何值，方程都有两个不等的实数根.
(2)解:设方程$x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0$的两个实数根为$x_{1}$，$x_{2}$，
　　则$x_{1}+x_{2}=m + 2$，$x_{1}x_{2}=m - 1$.
　　$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$，即$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=9$，$\therefore(m + 2)^{2}-3(m - 1)=9$，
　　整理，得$m^{2}+m - 2 = 0$.
　　$\therefore(m + 2)(m - 1)=0$，
　　解得$m_{1}=-2$，$m_{2}=1$.
　　$\therefore m$的值为−2或1.